Optimasi Cembung - Norm

Norma adalah fungsi yang memberikan nilai yang sangat positif ke vektor atau variabel.

Normalnya adalah fungsi $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Karakteristik dasar dari suatu norma adalah -

Misalkan $ X $ menjadi vektor sehingga $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ kiri \ | x \ kanan \ | \ geq 0 $
$ \ kiri \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ kiri \ | \ alpha x \ kanan \ | = \ kiri | \ alpha \ kanan | \ kiri \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X dan \: \ alpha \: adalah \: a \: scalar $
$ \ kiri \ | x + y \ kanan \ | \ leq \ kiri \ | x \ kanan \ | + \ kiri \ | y \ benar \ | \ untuk semua x, y \ dalam X $
$ \ kiri \ | xy \ kanan \ | \ geq \ kiri \ | \ kiri \ | x \ kanan \ | - \ kiri \ | y \ benar \ | \ kanan \ | $

Menurut definisi, norma dihitung sebagai berikut -

$ \ kiri \ | x \ kanan \ | _1 = \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {i = 1} ^ n \ kiri | x_i \ kanan | $
$ \ kiri \ | x \ kanan \ | _2 = \ kiri (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ kiri | x_i \ kanan | ^ 2 \ kanan) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ kiri \ | x \ kanan \ | _p = \ kiri (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ kiri | x_i \ kanan | ^ p \ kanan) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ banyak $

Norma adalah fungsi berkelanjutan.

Bukti

Menurut definisi, jika $ x_n \ rightarrow x $ in $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ maka $ f \ left (x \ right) $ adalah fungsi konstan.

Misalkan $ f \ kiri (x \ kanan) = \ kiri \ | x \ kanan \ | $

Karena $ x_n \ rightarrow x $ jadi, $ \ left \ | x_n-x \ kanan \ | \ di kanan kiri 0 $

Oleh karena itu $ \ kiri | f \ kiri (x_n \ kanan) -f \ kiri (x \ kanan) \ kanan | \ leq 0 \ Rightarrow \ kiri | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Oleh karena itu, norma merupakan fungsi yang berkelanjutan.