Fungsi Sangat Quasiconvex

Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ dan S menjadi cembung yang tidak kosong yang ditetapkan di $ \ mathbb {R} ^ n $ maka f adalah fungsi quasiconvex yang kuat jika untuk $ x_1, x_2 \ in S $ dengan $ \ kiri (x_1 \ kanan) \ neq \ kiri (x_2 \ kanan) $, kita memiliki $ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) <max \: \ kiri \ {f \ kiri (x_1 \ kanan), f \ kiri (x_2 \ kanan) \ kanan \}, \ depan \ lambda \ in \ kiri (0,1 \ kanan) $

Dalil

Fungsi quasiconvex $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ pada set cembung yang tidak kosong S di $ \ mathbb {R} ^ n $ adalah fungsi quasiconvex yang kuat jika tidak konstan pada ruas garis yang menghubungkan poin dari S.

Bukti

Misal f adalah fungsi quasiconvex dan tidak konstan pada ruas garis yang menghubungkan titik-titik S.

Misalkan f bukanlah fungsi quasiconvex yang kuat.

Ada $ x_1, x_2 \ dalam S $ dengan $ x_1 \ neq x_2 $ sedemikian rupa

$$ f \ kiri (z \ kanan) \ geq max \ kiri \ {f \ kiri (x_1 \ kanan), f \ kiri (x_2 \ kanan) \ kanan \}, \ depan z = \ lambda x_1 + \ kiri (1 - \ lambda \ kanan) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ kanan) $$

$ \ Panah kanan f \ kiri (x_1 \ kanan) \ leq f \ kiri (z \ kanan) $ dan $ f \ kiri (x_2 \ kanan) \ leq f \ kiri (z \ kanan) $

Karena f tidak konstan di $ \ left [x_1, z \ right] $ dan $ \ left [z, x_2 \ right] $

Jadi ada $ u \ di \ kiri [x_1, z \ kanan] $ dan $ v = \ kiri [z, x_2 \ kanan] $

$$ \ Sisi Kanan u = \ mu_1x_1 + \ kiri (1- \ mu_1 \ kanan) z, v = \ mu_2z + \ kiri (1- \ mu_2 \ kanan) x_2 $$

Karena f adalah quasiconvex,

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ kanan), f \ kiri (z \ kanan) \ kanan \} = f \ kiri (z \ kanan) \ : \: dan \: \: f \ kiri (v \ kanan) \ leq max \ kiri \ {f \ kiri (z \ kanan), f \ kiri (x_2 \ kanan) \ kanan \} $$

$$ \ Panah kanan f \ kiri (u \ kanan) \ leq f \ kiri (z \ kanan) \: \: dan \: \: f \ kiri (v \ kanan) \ leq f \ kiri (z \ kanan) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ kiri (u \ kanan), f \ kiri (v \ kanan) \ kanan \} \ leq f \ kiri (z \ kanan) $$

Tetapi z adalah titik antara u dan v, jika ada yang sama, maka f konstan.

Oleh karena itu, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

yang bertentangan dengan quasiconvexity dari f sebagai $ z \ in \ left [u, v \ right] $.

Oleh karena itu f adalah fungsi kuasikonveks kuat.

Dalil

Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ dan S menjadi cembung tidak kosong yang disetel dalam $ \ mathbb {R} ^ n $. Jika $ \ hat {x} $ adalah solusi optimal lokal, maka $ \ hat {x} $ adalah solusi optimal global yang unik.

Bukti

Karena fungsi quasiconvex yang kuat juga merupakan fungsi quasiconvex yang ketat, maka solusi optimal lokal adalah solusi optimal global.

Uniqueness - Misalkan f mencapai solusi optimal global pada dua poin $ u, v \ dalam S $

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: dan \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ kiri (x \ kanan). \ untuk semua x \ dalam S $$

Jika u adalah solusi optimal global, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ dan $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ kiri (u \ kanan) = f \ kiri (v \ kanan) $

$$ f \ kiri (\ lambda u + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) v \ kanan) <max \ kiri \ {f \ kiri (u \ kanan), f \ kiri (v \ kanan) \ kanan \} = f \ kiri (u \ kanan) $$

yang merupakan kontradiksi.

Karenanya, hanya ada satu solusi optimal global.

Catatan

• Fungsi quasiconvex yang kuat juga merupakan fungsi quasiconvex yang ketat.
• Fungsi yang sangat cembung mungkin atau mungkin tidak quasiconvex kuat.
• Cembung ketat yang dapat dibedakan adalah kuasikonveks kuat.