Pengoptimalan Cembung - Kerucut

Himpunan C yang tidak kosong di $ \ mathbb {R} ^ n $ dikatakan kerucut dengan simpul 0 jika $ x \ di C \ Rightarrow \ lambda x \ di C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Himpunan C adalah kerucut cembung jika ia cembung dan juga kerucut.

Misalnya, $ y = \ kiri | x \ right | $ bukan kerucut cembung karena bukan cembung.

Tapi, $ y \ geq \ kiri | x \ right | $ adalah kerucut cembung karena ia juga cembung.

Note - Kerucut C cembung jika dan hanya jika untuk $ x, y \ di C, x + y \ di C $.

Bukti

Karena C adalah kerucut, untuk $ x, y \ di C \ Rightarrow \ lambda x \ di C $ dan $ \ mu y \ di C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

C cembung jika $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Karena C adalah kerucut, $ \ lambda x \ di C $ dan $ \ kiri (1- \ lambda \ kanan) y \ di C \ Leftrightarrow x, y \ di C $

Jadi C cembung jika $ x + y \ dalam C $

Secara umum, jika $ x_1, x_2 \ in C $, maka $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Contoh

• Kombinasi kerucut dari himpunan vektor tak terhingga dalam $ \ mathbb {R} ^ n $ adalah kerucut cembung.

• Set kosong apa pun adalah kerucut cembung.

• Fungsi linier apa pun adalah kerucut cembung.

• Karena bidang-hiper linear, ia juga merupakan kerucut cembung.

• Setengah ruang tertutup juga merupakan kerucut cembung.

Note - Perpotongan dua kerucut cembung adalah kerucut cembung tetapi penyatuannya mungkin atau mungkin bukan kerucut cembung.