Pengoptimalan Cembung - Pemrograman Linier

Metodologi

Pemrograman Linier juga disebut Pengoptimalan Linier, adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika di mana hubungan tersebut bersifat linier. sifat dasar Linear Programming adalah untuk memaksimalkan atau meminimalkanobjective function dengan tunduk pada beberapa constraints. Fungsi obyektif merupakan fungsi linier yang diperoleh dari model matematika soal. Kendala adalah kondisi yang dikenakan pada model dan juga linier.

• Dari pertanyaan yang diberikan, temukan fungsi tujuan.
• temukan kendala.
• Gambarkan batasan pada grafik.
• temukan wilayah yang layak, yang dibentuk oleh persimpangan semua kendala.
• temukan simpul dari wilayah yang memungkinkan.
• temukan nilai dari fungsi tujuan pada simpul-simpul ini.
• Titik puncak yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan (menurut pertanyaan) adalah jawabannya.

Contoh

Step 1 - Maksimalkan $ 5x + 3y $ tunduk pada

$ x + y \ leq 2 $,

$ 3x + y \ leq 3 $,

$ x \ geq 0 \: dan \: y \ geq 0 $

Solution -

Langkah pertama adalah menemukan wilayah yang layak pada grafik.

Jelas dari grafik, simpul dari daerah yang layak adalah

$ \ kiri (0, 0 \ kanan) \ kiri (0, 2 \ kanan) \ kiri (1, 0 \ kanan) \ kiri (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ kanan ) $

Misalkan $ f \ kiri (x, y \ kanan) = 5x + 3y $

Menempatkan nilai-nilai ini dalam fungsi tujuan, kita dapatkan -

$ f \ kiri (0, 0 \ kanan) $ = 0

$ f \ kiri (0, 2 \ kanan) $ = 6

$ f \ kiri (1, 0 \ kanan) $ = 5

$ f \ kiri (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ kanan) $ = 7

Oleh karena itu, fungsi dimaksimalkan pada $ \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ right) $

Step 2- Perusahaan jam tangan memproduksi jam tangan digital dan mekanis. Proyeksi jangka panjang menunjukkan permintaan yang diharapkan dari setidaknya 100 jam tangan digital dan 80 jam tangan mekanis setiap hari. Karena keterbatasan kapasitas produksi, tidak lebih dari 200 jam tangan digital dan 170 jam tangan mekanis dapat dibuat setiap hari. Untuk memenuhi kontrak pengiriman, total sedikitnya 200 jam tangan banyak dikirim setiap hari.

Jika setiap jam tangan digital yang terjual menghasilkan kerugian $ \ $ 2 $, tetapi setiap jam tangan mekanis menghasilkan keuntungan $ \ $ 5 $, berapa banyak dari setiap jenis yang harus dibuat setiap hari untuk memaksimalkan laba bersih?

Solution -

Misalkan $ x $ adalah jumlah jam tangan digital yang diproduksi

$ y $ adalah jumlah jam tangan mekanis yang diproduksi

Menurut pertanyaan, minimal 100 jam tangan digital harus dibuat setiap hari dan maksimal 200 jam tangan digital bisa dibuat.

$ \ Rightarrow 100 \ leq \: x \ leq 200 $

Demikian pula, setidaknya 80 jam tangan mekanis harus dibuat setiap hari dan maksimum 170 jam tangan mekanis dapat dibuat.

$ \ Rightarrow 80 \ leq \: y \ leq 170 $

Karena setidaknya 200 jam tangan akan diproduksi setiap hari.

$ \ Panah Kanan x + y \ leq 200 $

Karena setiap jam tangan digital yang terjual menghasilkan kerugian $ \ $ 2 $, tetapi setiap jam tangan mekanis menghasilkan keuntungan $ \ $ 5 $,

Keuntungan total dapat dihitung sebagai

$ Untung = -2x + 5y $

Dan kita harus memaksimalkan keuntungan, Oleh karena itu, pertanyaannya dapat dirumuskan sebagai -

Maksimalkan $ -2x + 5y $ tunduk pada

$ 100 \: \ leq x \: \ leq 200 $

$ 80 \: \ leq y \: \ leq 170 $

$ x + y \: \ leq 200 $

Merencanakan persamaan di atas dalam grafik, kita dapatkan,

Simpul dari wilayah yang layak adalah

$ \ kiri (100, 170 \ kanan) \ kiri (200, 170 \ kanan) \ kiri (200, 180 \ kanan) \ kiri (120, 80 \ kanan) dan \ kiri (100, 100 \ kanan) $

Nilai maksimum dari fungsi objektif diperoleh sebesar $ \ kiri (100, 170 \ kanan) $ Dengan demikian, untuk memaksimalkan keuntungan bersih harus diproduksi 100 unit jam tangan digital dan 170 unit jam tangan mekanik.