Fungsi Pseudoconvex
Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi yang dapat dibedakan dan S menjadi cembung yang tidak kosong yang ditetapkan di $ \ mathbb {R} ^ n $, maka f dikatakan pseudoconvex jika untuk setiap $ x_1, x_2 \ dalam S $ dengan $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, kita punya $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ kanan) $, atau setara jika $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ lalu $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $
Fungsi pseudoconcave
Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi yang dapat dibedakan dan S menjadi cembung yang tidak kosong yang ditetapkan di $ \ mathbb {R} ^ n $, maka f dikatakan pseudoconvex jika untuk setiap $ x_1, x_2 \ dalam S $ dengan $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, kita punya $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ kanan) $, atau setara jika $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ lalu $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right )> 0 $
Catatan
Jika suatu fungsi adalah pseudoconvex dan pseudoconcave, maka disebut pseudolinear.
Fungsi cembung yang dapat dibedakan juga disebut pseudokonveks.
Fungsi pseudoconvex mungkin tidak cembung. Sebagai contoh,
$ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ bukan cembung. Jika $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $
Jadi, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $
Dan, $ f \ kiri (x_2 \ kanan) -f \ kiri (x_1 \ kanan) = \ kiri (x_2-x_1 \ kanan) + \ kiri (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ kanan) \ geq 0 $
$ \ Panah kanan f \ kiri (x_2 \ kanan) \ geq f \ kiri (x_1 \ kanan) $
Jadi, itu adalah pseudoconvex.
Fungsi pseudoconvex secara ketat adalah quasiconvex. Jadi, setiap minimum lokal pseudoconvex juga minimum global.
Fungsi pseudoconvex yang ketat
Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi yang dapat dibedakan dan S menjadi cembung yang tidak kosong yang ditetapkan di $ \ mathbb {R} ^ n $, maka f dikatakan pseudoconvex jika untuk setiap $ x_1, x_2 \ dalam S $ dengan $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, kita punya $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ kanan) $, atau setara jika $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ lalu $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $
Dalil
Misalkan f adalah fungsi pseudoconvex dan misalkan $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ untuk beberapa $ \ hat {x} \ dalam S $, maka $ \ hat {x} $ adalah global optimal solusi f atas S.
Bukti
Misal $ \ hat {x} $ menjadi titik kritis dari f, yaitu $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $
Karena f adalah fungsi pseudoconvex, untuk $ x \ dalam S, $ kita punya
$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ kanan), \ untuk semua x \ dalam S $$
Karenanya, $ \ hat {x} $ adalah solusi optimal global.
Ucapan
Jika f benar-benar merupakan fungsi pseudoconvex, $ \ hat {x} $ adalah solusi optimal global yang unik.
Dalil
Jika f adalah fungsi pseudokonveks yang dapat dibedakan atas S, maka f adalah fungsi kuasikonveks dan kuasikonveks.
Catatan
Jumlah dari dua fungsi pseudokonveks yang ditentukan pada himpunan S terbuka $ \ mathbb {R} ^ n $ tidak boleh berupa pseudoconvex.
Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi quasiconvex dan S adalah subset cembung yang tidak kosong dari $ \ mathbb {R} ^ n $ then f adalah pseudoconvex jika dan hanya jika setiap titik kritis bersifat global minimal f dari S.
Misalkan S adalah subset konveks yang tidak kosong dari $ \ mathbb {R} ^ n $ dan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi sehingga $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ untuk setiap $ x \ dalam S $ maka f adalah pseudoconvex jika dan hanya jika itu adalah fungsi quasiconvex.