Optimasi Cembung - Teorema Weierstrass

Misalkan S adalah himpunan yang tidak kosong, tertutup, dan dibatasi (juga disebut himpunan kompak) di $ \ mathbb {R} ^ n $ dan misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi kontinu pada S, lalu masalah min $ \ kiri \ {f \ kiri (x \ kanan): x \ dalam S \ kanan \} $ mencapai minimumnya.

Bukti

Karena S tidak kosong dan dibatasi, maka terdapat batas bawah.

$ \ alpha = Inf \ kiri \ {f \ kiri (x \ kanan): x \ dalam S \ kanan \} $

Sekarang, biarkan $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ dan $ \ delta \ di \ kiri (0,1 \ kanan) $

Menurut definisi infimium, $ S_j $ tidak kosong, untuk setiap $ j $.

Pilih beberapa $ x_j \ dalam S_j $ untuk mendapatkan urutan $ \ kiri \ {x_j \ kanan \} $ untuk $ j = 1,2, ... $

Karena S dibatasi, urutannya juga dibatasi dan ada urutan konvergen $ \ left \ {y_j \ right \} $, yang menyatu dengan $ \ hat {x} $. Maka $ \ hat {x} $ adalah titik batas dan S ditutup, oleh karena itu, $ \ hat {x} \ dalam S $. Karena f kontinu, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

Karena $ \ alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ right) = f \ left ( \ hat {x} \ kanan) $

Jadi, $ \ hat {x} $ adalah solusi meminimalkan.

Catatan

Ada dua kondisi penting yang perlu dipegang Teorema Weierstrass. Ini adalah sebagai berikut -

• Step 1 - Himpunan S haruslah himpunan berbatas.

  Pertimbangkan fungsi f \ left (x \ right) = x $.

  Ini adalah himpunan tak terbatas dan memiliki nilai minimum di setiap titik dalam domainnya.

  Jadi, untuk mendapatkan minimum, S harus dibatasi.

• Step 2 - Set S harus ditutup.

  Pertimbangkan fungsi $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ di domain \ left (0,1 \ right).

  Fungsi ini tidak ditutup dalam domain yang diberikan dan minimumnya juga tidak ada.

  Oleh karena itu, untuk mendapatkan minimum, S harus ditutup.