Matematika Diskrit - Fungsi

SEBUAH Functionmenetapkan ke setiap elemen dari suatu himpunan, tepat satu elemen dari himpunan terkait. Fungsi menemukan aplikasinya di berbagai bidang seperti representasi kompleksitas komputasi algoritme, menghitung objek, mempelajari urutan dan string, dan lain-lain. Bab ketiga dan terakhir dari bagian ini menyoroti aspek penting dari fungsi.

Fungsi - Definisi

Fungsi atau pemetaan (Didefinisikan sebagai $ f: X \ rightarrow Y $) adalah hubungan dari elemen satu himpunan X ke unsur himpunan lain Y (X dan Y adalah himpunan tidak kosong). X disebut Domain dan Y disebut Codomain dari fungsi 'f'.

Fungsi 'f' adalah relasi pada X dan Y sehingga untuk setiap $ x \ dalam X $, terdapat $ y \ dalam Y $ yang unik sehingga $ (x, y) \ dalam R $. 'x' disebut citra-awal dan 'y' disebut citra dengan fungsi f.

Suatu fungsi bisa satu ke satu atau banyak ke satu tetapi tidak satu ke banyak.

Fungsi Injective / One-to-one

Fungsi $ f: A \ rightarrow B $ adalah fungsi injektif atau one-to-one jika untuk setiap $ b \ di B $, paling banyak ada satu $ a \ di A $ sehingga $ f (s) = t $ .

Ini berarti sebuah fungsi f disuntikkan jika $ a_1 \ ne a_2 $ menyiratkan $ f (a1) \ ne f (a2) $.

Contoh

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ adalah suntikan.

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ injeksi.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ tidak injeksi sebagai $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

Fungsi Surjective / Onto

Fungsi $ f: A \ rightarrow B $ bersifat surjective (ke) jika bayangan f sama dengan range-nya. Sama halnya, untuk setiap $ b \ di B $, ada beberapa $ a \ di A $ sehingga $ f (a) = b $. Ini berarti bahwa untuk setiap y di B, terdapat beberapa x di A sehingga $ y = f (x) $.

Contoh

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ surjective.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ tidak bersifat surjective karena kita tidak dapat menemukan bilangan real yang kuadratnya negatif.

Bijective / Koresponden Satu-ke-satu

Fungsi $ f: A \ rightarrow B $ adalah bijective atau koresponden satu-ke-satu jika dan hanya jika f bersifat injeksi dan dugaan.

Masalah

Buktikan bahwa fungsi $ f: R \ rightarrow R $ yang ditentukan oleh $ f (x) = 2x - 3 $ adalah fungsi bias.

Explanation - Kita harus membuktikan bahwa fungsi ini bersifat injeksi dan dugaan.

Jika $ f (x_1) = f (x_2) $, maka $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ dan itu berarti $ x_1 = x_2 $.

Oleh karena itu, f adalah injective.

Di sini, $ 2x - 3 = y $

Jadi, $ x = (y + 5) / 3 $ yang dimiliki R dan $ f (x) = y $.

Oleh karena itu, f adalah surjective.

Sejak f adalah keduanya surjective dan injective, kita bisa bilang f adalah bijective.

Kebalikan dari suatu Fungsi

Itu inverse dari fungsi yang sesuai satu-ke-satu $ f: A \ rightarrow B $, adalah fungsi $ g: B \ rightarrow A $, memegang properti berikut -

$ f (x) = y \ Panah kiri g (y) = x $

Fungsi f disebut invertible, jika fungsi kebalikannya g ada.

Contoh

  • A Fungsi $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, dapat dibalik karena memiliki fungsi invers $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.

  • A Fungsi $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ tidak dapat dibalik karena ini bukan one-to-one seperti $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.

Komposisi Fungsi

Dua fungsi $ f: A \ rightarrow B $ dan $ g: B \ rightarrow C $ dapat dikomposisikan untuk memberikan komposisi $ gof $. Ini adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh $ (gof) (x) = g (f (x)) $

Contoh

Misalkan $ f (x) = x + 2 $ dan $ g (x) = 2x + 1 $, temukan $ (fog) (x) $ dan $ (gof) (x) $.

Larutan

$ (kabut) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $

Karenanya, $ (fog) (x) \ neq (gof) (x) $

Beberapa Fakta tentang Komposisi

  • Jika f dan g adalah satu-ke-satu maka fungsi $ (gof) $ juga satu-ke-satu.

  • Jika f dan g di atas maka fungsi $ (gof) $ juga ke.

  • Komposisi selalu memiliki properti asosiatif tetapi tidak memiliki properti komutatif.