Operator & Postulat

Teori Grup adalah cabang matematika dan aljabar abstrak yang mendefinisikan struktur aljabar bernama group. Umumnya, grup terdiri dari satu set elemen dan operasi atas dua elemen di set itu untuk membentuk elemen ketiga juga di set itu.

Pada tahun 1854, Arthur Cayley, ahli matematika Inggris, memberikan definisi modern tentang grup untuk pertama kalinya -

“Sekumpulan simbol yang semuanya berbeda, dan sedemikian rupa sehingga produk dari dua dari mereka (tidak peduli dalam urutan apa), atau produk dari salah satu dari mereka menjadi dirinya sendiri, termasuk dalam himpunan, dikatakan sebagai sebuah kelompok . Simbol-simbol ini tidak dapat dikonversi secara umum [komutatif], tetapi bersifat asosiatif. ”

Dalam bab ini, kita akan mengetahui tentang operators and postulates yang membentuk dasar-dasar teori himpunan, teori grup dan aljabar Boolean.

Setiap himpunan elemen dalam sistem matematika dapat ditentukan dengan himpunan operator dan sejumlah postulat.

SEBUAH binary operatordidefinisikan pada satu set elemen adalah aturan yang menetapkan untuk setiap pasangan elemen elemen unik dari himpunan itu. Sebagai contoh, diberikan set $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, kita dapat mengatakan $ \ otimes $ adalah operator biner untuk operasi $ c = a \ otimes b $, jika ditentukan aturan untuk menemukan c untuk pasangan $ (a, b) $, sehingga $ a, b, c \ dalam A $.

Itu postulatesdari sistem matematika membentuk asumsi dasar dari mana aturan dapat disimpulkan. Postulatnya adalah -

Penutupan

Himpunan ditutup sehubungan dengan operator biner jika untuk setiap pasangan elemen dalam himpunan, operator menemukan elemen unik dari himpunan itu.

Contoh

Misalkan $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Set ini ditutup di bawah operator biner menjadi $ (\ ast) $, karena untuk operasi $ c = a \ ast b $, untuk $ a, b \ in A $, produk $ c \ in A $.

Himpunan tidak ditutup di bawah operator biner membagi $ (\ div) $, karena, untuk operasi $ c = a \ div b $, untuk $ a, b \ dalam A $, produk c mungkin tidak ada dalam himpunan A. Jika $ a = 7, b = 2 $, maka $ c = 3,5 $. Di sini $ a, b \ di A $ tapi $ c \ notin A $.

Hukum Asosiatif

Operator biner $ \ otimes $ pada himpunan A bersifat asosiatif ketika memegang properti berikut -

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, dimana $ x, y, z \ dalam A $

Contoh

Misalkan $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operator ditambah $ (+) $ adalah asosiatif karena untuk tiga elemen apa pun, $ x, y, z \ dalam A $, properti $ (x + y) + z = x + (y + z) $ memegang.

Operator dikurangi $ (-) $ tidak asosiatif sejak

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Hukum Komutatif

Operator biner $ \ otimes $ pada himpunan A bersifat komutatif ketika memegang properti berikut -

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, di mana $ x, y \ dalam A $

Contoh

Misalkan $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operator ditambah $ (+) $ adalah komutatif karena untuk dua elemen apa pun, $ x, y \ di A $, properti $ x + y = y + x $ memegang.

Operator dikurangi $ (-) $ tidak asosiatif sejak

$$ x - y \ ne y - x $$

Hukum Distributif

Dua operator biner $ \ otimes $ dan $ \ circledast $ pada himpunan A, bersifat distributif di atas operator $ \ circledast $ ketika properti berikut memegang -

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, di mana $ x, y, z \ dalam A $

Contoh

Misalkan $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operator menjadi $ (*) $ dan ditambah $ (+) $ distributif atas operator + karena untuk tiga elemen, $ x, y, z \ dalam A $, properti $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ memegang.

Namun, operator ini tidak mendistribusikan lebih dari $ * $ sejak

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Elemen Identitas

Himpunan A memiliki elemen identitas sehubungan dengan operasi biner $ \ otimes $ di A, jika terdapat elemen $ e \ dalam A $, sehingga properti berikut menampung -

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, di mana $ x \ dalam A $

Contoh

Misalkan $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Elemen 1 adalah elemen identitas sehubungan dengan operasi $ * $ karena untuk elemen $ x \ di Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

Di sisi lain, tidak ada elemen identitas untuk operasi tersebut dikurangi $ (-) $

Terbalik

Jika himpunan A memiliki elemen identitas $ e $ sehubungan dengan operator biner $ \ otimes $, dikatakan memiliki invers setiap kali untuk setiap elemen $ x \ di A $, ada elemen lain $ y \ di A $ , sehingga properti berikut memiliki -

$$ x \ otimes y = e $$