3D変換

回転

3D回転は2D回転と同じではありません。3D回転では、回転軸とともに回転角を指定する必要があります。X、Y、Z軸を中心に3D回転を実行できます。それらは以下のようなマトリックス形式で表されます-

$$ R_ {x}（\ theta）= \ begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆cos \ theta＆−sin \ theta＆0 \\ 0＆sin \ theta＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ \ \ end {bmatrix} R_ {y}（\ theta）= \ begin {bmatrix} cos \ theta＆0＆sin \ theta＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ −sin \ theta＆0＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆ 1 \\ \ end {bmatrix} R_ {z}（\ theta）= \ begin {bmatrix} cos \ theta＆−sin \ theta＆0＆0 \\ sin \ theta＆cos \ theta＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆ 0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $$

次の図は、さまざまな軸を中心とした回転を説明しています-

スケーリング

スケーリング変換を使用して、オブジェクトのサイズを変更できます。スケーリングプロセスでは、オブジェクトの寸法を拡大または縮小します。スケーリングは、オブジェクトの元の座標にスケーリング係数を掛けて、目的の結果を得ることができます。次の図は、3Dスケーリングの効果を示しています-

3Dスケーリング操作では、3つの座標が使用されます。元の座標が（X、Y、Z）、倍率がそれぞれ$（S_ {X、} S_ {Y、} S_ {z}）$、生成された座標が（X '、Y'）であると仮定します。 、Z '）。これは、以下に示すように数学的に表すことができます-

$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S_ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S_ {z}＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $

P '= P∙S

$ [{X} '\：\：\：{Y}' \：\：\：{Z} '\：\：\：1] = [X \：\：\：Y \：\：\： Z \：\：\：1] \：\：\ begin {bmatrix} S_ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S_ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S_ {z}＆0 \\ 0＆0＆ 0＆1 \ end {bmatrix} $

$ = [X.S_ {x} \：\：\：Y.S_ {y} \：\：\：Z.S_ {z} \：\：\：1] $

剪断

オブジェクトの形状を傾斜させる変換は、 shear transformation。2Dシアーと同様に、3DでX軸、Y軸、またはZ軸に沿ってオブジェクトをシアーすることができます。

上の図に示すように、座標Pがあります。それをせん断して新しい座標P 'を取得できます。これは、次のように3D行列形式で表すことができます。

$ Sh = \ begin {bmatrix} 1＆sh_ {x} ^ {y}＆sh_ {x} ^ {z}＆0 \\ sh_ {y} ^ {x}＆1＆sh_ {y} ^ {z} ＆0 \\ sh_ {z} ^ {x}＆sh_ {z} ^ {y}＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $

P '= P∙Sh

$ X '= X + Sh_ {x} ^ {y} Y + Sh_ {x} ^ {z} Z $

$ Y '= Sh_ {y} ^ {x} X + Y + sh_ {y} ^ {z} Z $

$ Z '= Sh_ {z} ^ {x} X + Sh_ {z} ^ {y} Y + Z $

変換行列

変換行列は、変換の基本的なツールです。nxm次元の行列は、オブジェクトの座標で乗算されます。通常、変換には3 x3または4x4の行列が使用されます。たとえば、さまざまな操作について次の行列を考えてみます。

$ T = \ begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ t_ {x}＆t_ {y}＆t_ {z}＆1 \\ \ end {bmatrix} $	$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x}＆0＆0＆0 \\ 0＆S_ {y}＆0＆0 \\ 0＆0＆S_ {z}＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $	$ Sh = \ begin {bmatrix} 1＆sh_ {x} ^ {y}＆sh_ {x} ^ {z}＆0 \\ sh_ {y} ^ {x}＆1＆sh_ {y} ^ {z}＆ 0 \\ sh_ {z} ^ {x}＆sh_ {z} ^ {y}＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $
Translation Matrix	Scaling Matrix	Shear Matrix
$ R_ {x}（\ theta）= \ begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆cos \ theta＆-sin \ theta＆0 \\ 0＆sin \ theta＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \\ \ end {bmatrix} $	$ R_ {y}（\ theta）= \ begin {bmatrix} cos \ theta＆0＆sin \ theta＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ -sin \ theta＆0＆cos \ theta＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \\\ end {bmatrix} $	$ R_ {z}（\ theta）= \ begin {bmatrix} cos \ theta＆-sin \ theta＆0＆0 \\ sin \ theta＆cos \ theta＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $
Rotation Matrix