DAA - Merge Sort
W tym rozdziale omówimy sortowanie przez scalanie i przeanalizujemy jego złożoność.
Stwierdzenie problemu
Problem sortowania listy liczb nadaje się natychmiast do strategii dziel i rządź: podziel listę na dwie połowy, rekurencyjnie posortuj każdą połowę, a następnie połącz dwie posortowane listy podrzędne.
Rozwiązanie
W tym algorytmie liczby są przechowywane w tablicy numbers[]. Tutaj,p i q reprezentuje indeks początkowy i końcowy tablicy podrzędnej.
Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r)
if p < r then
q = ⌊(p + r) / 2⌋
Merge-Sort (numbers[], p, q)
Merge-Sort (numbers[], q + 1, r)
Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1
n2 = r – q
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays
for i = 1 to n1
leftnums[i] = numbers[p + i - 1]
for j = 1 to n2
rightnums[j] = numbers[q+ j]
leftnums[n1 + 1] = ∞
rightnums[n2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
if leftnums[i] ≤ rightnums[j]
numbers[k] = leftnums[i]
i = i + 1
else
numbers[k] = rightnums[j]
j = j + 1
Analiza
Rozważmy czas działania funkcji Merge-Sort as T(n). W związku z tym,
$ T (n) = \ begin {przypadki} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & w przeciwnym razie \ end {przypadki} $, gdzie c i d są stałymi
Dlatego używając tej relacji powtarzania,
$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$
As, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $
$ = \: cn + dnlog \: n $
Dlatego $ T (n) = O (n \: log \: n) $
Przykład
W poniższym przykładzie pokazaliśmy krok po kroku algorytm Merge-Sort. Po pierwsze, każda tablica iteracji jest podzielona na dwie pod-tablice, aż podtablica zawiera tylko jeden element. Jeśli tych tablic podrzędnych nie można dalej podzielić, wykonywane są operacje scalania.