DAA - Merge Sort

W tym rozdziale omówimy sortowanie przez scalanie i przeanalizujemy jego złożoność.

Stwierdzenie problemu

Problem sortowania listy liczb nadaje się natychmiast do strategii dziel i rządź: podziel listę na dwie połowy, rekurencyjnie posortuj każdą połowę, a następnie połącz dwie posortowane listy podrzędne.

Rozwiązanie

W tym algorytmie liczby są przechowywane w tablicy numbers[]. Tutaj,p i q reprezentuje indeks początkowy i końcowy tablicy podrzędnej.

Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r) 
if p < r then  
q = ⌊(p + r) / 2⌋ 
Merge-Sort (numbers[], p, q) 
    Merge-Sort (numbers[], q + 1, r) 
    Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1 
n2 = r – q 
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays 
for i = 1 to n1 
   leftnums[i] = numbers[p + i - 1] 
for j = 1 to n2 
   rightnums[j] = numbers[q+ j] 
leftnums[n1 + 1] = ∞ 
rightnums[n2 + 1] = ∞ 
i = 1 
j = 1 
for k = p to r 
   if leftnums[i] ≤ rightnums[j] 
      numbers[k] = leftnums[i] 
      i = i + 1 
   else
      numbers[k] = rightnums[j] 
      j = j + 1

Analiza

Rozważmy czas działania funkcji Merge-Sort as T(n). W związku z tym,

$ T (n) = \ begin {przypadki} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & w przeciwnym razie \ end {przypadki} $, gdzie c i d są stałymi

Dlatego używając tej relacji powtarzania,

$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$

As, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $

$ = \: cn + dnlog \: n $

Dlatego $ T (n) = O (n \: log \: n) $

Przykład

W poniższym przykładzie pokazaliśmy krok po kroku algorytm Merge-Sort. Po pierwsze, każda tablica iteracji jest podzielona na dwie pod-tablice, aż podtablica zawiera tylko jeden element. Jeśli tych tablic podrzędnych nie można dalej podzielić, wykonywane są operacje scalania.