Comunicação Analógica - Moduladores AM
Neste capítulo, vamos discutir sobre os moduladores, que geram ondas moduladas em amplitude. Os dois moduladores a seguir geram ondas AM.
- Modulador de lei quadrada
- Modulador de comutação
Modulador Square Law
A seguir está o diagrama de blocos do modulador de lei quadrada
Sejam os sinais de modulação e portadora $ m \ left (t \ right) $ e $ A \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ respectivamente. Esses dois sinais são aplicados como entradas para o bloco de verão (somador). Este bloco de verão produz uma saída, que é a adição do sinal modulante e portador. Matematicamente, podemos escrever como
$$ V_1t = m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Este sinal $ V_1t $ é aplicado como uma entrada para um dispositivo não linear como um diodo. As características do diodo estão intimamente relacionadas à lei quadrática.
$ V_2t = k_1V_1 \ left (t \ right) + k_2V_1 ^ 2 \ left (t \ right) $ (Equação 1)
Onde, $ k_1 $ e $ k_2 $ são constantes.
Substitua $ V_1 \ left (t \ right) $ na Equação 1
$$ V_2 \ esquerda (t \ direita) = k_1 \ esquerda [m \ esquerda (t \ direita) + A_c \ cos \ esquerda (2 \ pi f_ct \ direita) \ direita] + k_2 \ esquerda [m \ esquerda (t \ direita) + A_c \ cos \ esquerda (2 \ pi f_ct \ direita) \ direita] ^ 2 $$
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_1 A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + $
$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) + 2k_2m \ left (t \ right) A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ direita) + $
$ k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
O último termo da equação acima representa a onda AM desejada e os três primeiros termos da equação acima são indesejados. Assim, com a ajuda do filtro passa-banda, podemos passar apenas a onda AM e eliminar os três primeiros termos.
Portanto, a saída do modulador de lei quadrada é
$$ s \ left (t \ right) = k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
A equação padrão da onda AM é
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Onde, $ K_a $ é a sensibilidade de amplitude
Ao comparar a saída do modulador de lei quadrada com a equação padrão da onda AM, obteremos o fator de escala como $ k_1 $ e a sensibilidade de amplitude $ k_a $ como $ \ frac {2k_2} {k1} $.
Modulador de comutação
A seguir está o diagrama de blocos do modulador de comutação.
O modulador de comutação é semelhante ao modulador de lei quadrada. A única diferença é que no modulador de lei quadrada, o diodo é operado em um modo não linear, ao passo que, no modulador de chaveamento, o diodo deve operar como uma chave ideal.
Deixe os sinais de modulação e portadora serem denotados como $ m \ left (t \ right) $ e $ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ respectivamente. Esses dois sinais são aplicados como entradas para o bloco de verão (somador). O bloco de verão produz uma saída, que é a adição de sinais modulantes e portadores. Matematicamente, podemos escrever como
$$ V_1 \ esquerda (t \ direita) = m \ esquerda (t \ direita) + c \ esquerda (t \ direita) = m \ esquerda (t \ direita) + A_c \ cos \ esquerda (2 \ pi f_ct \ direita ) $$
Este sinal $ V_1 \ left (t \ right) $ é aplicado como uma entrada de diodo. Suponha que a magnitude do sinal de modulação seja muito pequena quando comparada à amplitude do sinal da portadora $ A_c $. Assim, a ação ON e OFF do diodo é controlada pelo sinal da portadora $ c \ left (t \ right) $. Isso significa que o diodo terá polarização direta quando $ c \ left (t \ right)> 0 $ e será polarizado reversamente quando $ c \ left (t \ right) <0 $.
Portanto, a saída do diodo é
$$ V_2 \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left (t \ right) & if & c \ left (t \ right)> 0 \\ 0 & if & c \ left (t \ right) <0 \ end {matrix} \ right. $$
Podemos aproximar isso como
$ V_2 \ left (t \ right) = V_1 \ left (t \ right) x \ left (t \ right) $ (Equação 2)
Onde, $ x \ left (t \ right) $ é um trem de pulso periódico com período de tempo $ T = \ frac {1} {f_c} $
A representação da série de Fourier deste trem de pulso periódico é
$$ x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ direita) ^ n-1} {2n-1} \ cos \ left (2 \ pi \ left (2n-1 \ right) f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + .... $$
Substitua os valores $ V_1 \ left (t \ right) $ e $ x \ left (t \ right) $ na Equação 2.
$ V_2 \ left (t \ right) = \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] \ left [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... \ right] $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac { 2m \ left (t \ right)} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ direita) \ cos \ esquerda (6 \ pi f_ct \ direita) + ..... $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ direita) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ direita) \ cos \ esquerda (6 \ pi f_ct \ direita) + ..... $
O 1 r termo da equação acima representa a onda AM desejado e os restantes termos são termos indesejados. Assim, com a ajuda do filtro passa-banda, podemos passar apenas a onda AM e eliminar os termos restantes.
Portanto, a saída do modulador de comutação é
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right ) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Sabemos que a equação padrão da onda AM é
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Onde, $ k_a $ é a sensibilidade de amplitude.
Comparando a saída do modulador de comutação com a equação padrão da onda AM, obteremos o fator de escala como 0,5 e a sensibilidade de amplitude $ k_a $ como $ \ frac {4} {\ pi A_c} $.