Otimização Convexa - Cones
Um conjunto não vazio C em $ \ mathbb {R} ^ n $ é considerado cone com vértice 0 se $ x \ em C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $.
Um conjunto C é um cone convexo se for convexo e também um cone.
Por exemplo, $ y = \ left | x \ right | $ não é um cone convexo porque não é convexo.
Mas, $ y \ geq \ left | x \ right | $ é um cone convexo porque ele também é convexo.
Note - Um cone C é convexo se e somente se para qualquer $ x, y \ em C, x + y \ em C $.
Prova
Como C é cone, para $ x, y \ em C \ Rightarrow \ lambda x \ em C $ e $ \ mu y \ em C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $
C é convexo se $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Como C é cone, $ \ lambda x \ em C $ e $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ em C \ Leftrightarrow x, y \ em C $
Assim, C é convexo se $ x + y \ em C $
Em geral, se $ x_1, x_2 \ em C $, então, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ em C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $
Exemplos
A combinação cônica do conjunto infinito de vetores em $ \ mathbb {R} ^ n $ é um cone convexo.
Qualquer conjunto vazio é um cone convexo.
Qualquer função linear é um cone convexo.
Como um hiperplano é linear, ele também é um cone convexo.
Meios espaços fechados também são cones convexos.
Note - A intersecção de dois cones convexos é um cone convexo, mas sua união pode ou não ser um cone convexo.