Otimização convexa - Conjunto convexo
Seja $ S \ subseteq \ mathbb {R} ^ n $ Um conjunto S é considerado convexo se o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do conjunto S também pertence ao S, ou seja, se $ x_1, x_2 \ in S $ , então $ \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S $ onde $ \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
Note -
- A união de dois conjuntos convexos pode ou não ser convexa.
- A intersecção de dois conjuntos convexos é sempre convexa.
Proof
Sejam $ S_1 $ e $ S_2 $ dois conjuntos convexos.
Deixe $ S_3 = S_1 \ cap S_2 $
Deixe $ x_1, x_2 \ em S_3 $
Como $ S_3 = S_1 \ cap S_2 $, portanto, $ x_1, x_2 \ em S_1 $ e $ x_1, x_2 \ em S_2 $
Uma vez que $ S_i $ é um conjunto convexo, $ \ forall $ $ i \ in 1,2, $
Assim, $ \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S_i $ onde $ \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $
Portanto, $ \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S_1 \ cap S_2 $
$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ em S_3 $
Portanto, $ S_3 $ é um conjunto convexo.
Média ponderada da forma $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i $, onde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1 $ e $ \ lambda_i \ geq 0 , \ forall i \ in \ left [1, k \ right] $ é chamado de combinação cônica de $ x_1, x_2, .... x_k. $
Média ponderada da forma $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i $, onde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1 $ é chamada de combinação afim de $ x_1 , x_2, .... x_k. $
A média ponderada da forma $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i $ é chamada de combinação linear de $ x_1, x_2, .... x_k. $
Exemplos
Step 1 - Prove que o conjunto $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Cx \ leq \ alpha \ right \} $ é um conjunto convexo.
Solução
Deixe $ x_1 $ e $ x_2 \ em S $
$ \ Rightarrow Cx_1 \ leq \ alpha $ and $ \: and \: Cx_2 \ leq \ alpha $
Para mostrar: $ \: \: y = \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ in S \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0,1 \ direita) $
$ Cy = C \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = \ lambda Cx_1 + \ left (1- \ lambda \ right) Cx_2 $
$ \ Rightarrow Cy \ leq \ lambda \ alpha + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha $
$ \ Rightarrow Cy \ leq \ alpha $
$ \ Rightarrow y \ in S $
Portanto, $ S $ é um conjunto convexo.
Step 2 - Prove que o conjunto $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} \ leq 8x_2 \ right \} $ é um convexo conjunto.
Solução
Seja $ x, y \ em S $
Seja $ x = \ left (x_1, x_2 \ right) $ e $ y = \ left (y_1, y_2 \ right) $
$ \ Rightarrow x_ {1} ^ {2} \ leq 8x_2 $ e $ y_ {1} ^ {2} \ leq 8y_2 $
Para mostrar - $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in S \ Rightarrow \ lambda \ left (x_1, x_2 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (y_1, y_2 \ right) \ in S \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda) y_2] \ in S \ right) \ right] $
$ Agora, \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) y_1 \ right] ^ {2} = \ lambda ^ 2x_ {1} ^ {2} + \ left (1- \ lambda \ right) ^ 2y_ {1} ^ {2} +2 \ lambda \ left (1- \ lambda \ right) x_1y_1 $
Mas $ 2x_1y_1 \ leq x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} $
Portanto,
$ \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) y_1 \ right] ^ {2} \ leq \ lambda ^ 2x_ {1} ^ {2} + \ left (1- \ lambda \ right) ^ 2y_ {1} ^ {2} +2 \ lambda \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} \ right) $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) y_1 \ right] ^ {2} \ leq \ lambda x_ {1} ^ {2} + \ left (1- \ lambda \ right) y_ {1} ^ {2} $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) y_1 \ right] ^ {2} \ leq 8 \ lambda x_2 + 8 \ left (1- \ lambda \ right) y_2 $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) y_1 \ right] ^ {2} \ leq 8 \ left [\ lambda x_2 + \ left (1- \ lambda \ right) y_2 \ right] $
$ \ Rightarrow \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ em S $
Step 3 - Mostre que um conjunto $ S \ in \ mathbb {R} ^ n $ é convexo se e somente se para cada inteiro k, toda combinação convexa de quaisquer k pontos de $ S $ está em $ S $.
Solução
Seja $ S $ um conjunto convexo. então, para mostrar;
$ c_1x_1 + c_2x_2 + ..... + c_kx_k \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k c_i = 1, c_i \ geq 0, \ forall i \ in 1,2, ...., k $
Prova por indução
Para $ k = 1, x_1 \ em S, c_1 = 1 \ Rightarrow c_1x_1 \ em S $
Para $ k = 2, x_1, x_2 \ em S, c_1 + c_2 = 1 $ e Visto que S é um conjunto convexo
$ \ Rightarrow c_1x_1 + c_2x_2 \ in S. $
Deixe a combinação convexa de m pontos de S em S, isto é,
$ c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_mx_m \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ m c_i = 1, c_i \ geq 0, \ forall i \ in 1,2, ..., m $
Agora, vamos $ x_1, x_2 ...., x_m, x_ {m + 1} \ em S $
Seja $ x = \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_mx_m + \ mu_ {m + 1} x_ {m + 1} $
Deixe $ x = \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_m \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + \ mu_mx_m} {\ mu_1 + \ mu_2 + ......... + \ mu_m} + \ mu_ {m + 1} x_ {m + 1} $
Seja $ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_mx_m} {\ mu_1 + \ mu_2 + ......... + \ mu_m} $
$ \ Rightarrow x = \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_m \ right) y + \ mu_ {m + 1} x_ {m + 1} $
Agora $ y \ em S $ porque a soma dos coeficientes é 1.
$ \ Rightarrow x \ in S $ visto que S é um conjunto convexo e $ y, x_ {m + 1} \ in S $
Daí provado por indução.