Função estritamente quasiconvexa

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $, então f é considerado função estritamente quasicovex se para cada $ x_1, x_2 \ em S $ com $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, temos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Observações

• Toda função estritamente quase-convexa é estritamente convexa.
• A função estritamente quase-convexa não implica quase-convexidade.
• A função estritamente quasiconvexa pode não ser fortemente quasiconvexa.
• A função pseudoconvexa é uma função estritamente quase-convexa.

Teorema

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ uma função estritamente quase-convexa e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ .Considere o problema: $ min \: f \ left (x \ direita), x \ em S $. Se $ \ hat {x} $ é a solução ótima local, então $ \ bar {x} $ é a solução ótima global.

Prova

Deixe que exista $ \ bar {x} \ em S $ tal que $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Como $ \ bar {x}, \ hat {x} \ in S $ e S é um conjunto convexo, portanto,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Como $ \ hat {x} $ são mínimos locais, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Já que f é estritamente quase-convexo.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

Portanto, é uma contradição.

Função estritamente quase côncava

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $, então f é saud ser uma função estritamente quasicovex se para cada $ x_1, x_2 \ em S $ com $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, temos

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Exemplos

• $ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

  É uma função estritamente quase-convexa porque se tomarmos quaisquer dois pontos $ x_1, x_2 $ no domínio que satisfaçam as restrições na definição $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Como a função está diminuindo no eixo x negativo e está aumentando no eixo x positivo ( uma vez que é uma parábola).

• $ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

  Não é uma função estritamente quase-convexa porque se tomarmos $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = -1 $ e $ \ lambda = 0,5 $, então $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ mas $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Portanto, não satisfaz as condições estabelecidas na definição. Mas é uma função quase-côncava porque se tomarmos quaisquer dois pontos no domínio que satisfaçam as restrições na definição $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $. Como a função está aumentando no eixo x negativo e está diminuindo no eixo x positivo.