Otimização convexa - Norma

Uma norma é uma função que fornece um valor estritamente positivo a um vetor ou variável.

A norma é uma função $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

As características básicas de uma norma são -

Seja $ X $ um vetor tal que $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X e \: \ alpha \: is \: a \: escalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \ right \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ left \ | x \ right \ | - \ left \ | y \ right \ | \ right \ | $

Por definição, a norma é calculada da seguinte forma -

$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

A norma é uma função contínua.

Prova

Por definição, se $ x_n \ rightarrow x $ em $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ então $ f \ left (x \ right) $ é uma função constante.

Seja $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

Como $ x_n \ rightarrow x $, portanto, $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Portanto $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Conseqüentemente, a norma é uma função contínua.