Otimização convexa - direção
Seja S um conjunto convexo fechado em $ \ mathbb {R} ^ n $. Um vetor diferente de zero $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ é chamado de direção de S se para cada $ x \ em S, x + \ lambda d \ em S, \ forall \ lambda \ geq 0. $
Duas direções $ d_1 $ e $ d_2 $ de S são chamadas distintas se $ d \ neq \ alpha d_2 $ para $ \ alpha> 0 $.
Uma direção $ d $ de $ S $ é dita direção extrema se não puder ser escrita como uma combinação linear positiva de duas direções distintas, ou seja, se $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ para $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, então $ d_1 = \ alpha d_2 $ para algum $ \ alpha $.
Qualquer outra direção pode ser expressa como uma combinação positiva de direções extremas.
Para um conjunto convexo $ S $, a direção d tal que $ x + \ lambda d \ em S $ para algum $ x \ em S $ e todos $ \ lambda \ geq0 $ é chamada recessive por $ S $.
Seja E o conjunto dos pontos onde uma certa função $ f: S \ rightarrow $ sobre um conjunto convexo não vazio S em $ \ mathbb {R} ^ n $ atinge seu máximo, então $ E $ é chamado de face exposta de $ S $. As direções das faces expostas são chamadas de direções expostas.
Um raio cuja direção é uma direção extrema é chamado de raio extremo.
Exemplo
Considere a função $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, onde $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Seja d um vetor unitário em $ \ mathbb {R} ^ n $
Então, d é a direção para a função f porque para qualquer $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.