Circuitos Digitais - Lógica de Limiar
Nos capítulos anteriores, implementamos vários circuitos combinacionais usando portas lógicas. Exceto a porta NOT, todas as portas lógicas restantes têm pelo menos duas entradas e uma única saída. Da mesma forma, othreshold gate também contém pelo menos uma entrada e apenas uma saída.
Além disso, ele contém os respectivos pesos para cada entrada e um valor limite. Os valores desses pesos e limiares podem ser de qualquer número real finito.
Noções básicas de porta de limiar
Sejam as entradas da porta de limiar X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n . Os pesos correspondentes dessas entradas são W 1 , W 2 , W 3 ,…, W n . osymbol de Threshold gate é mostrado na figura a seguir.
Threshold gateé representado por um círculo e tem 'n' entradas, X 1 a X n e uma única saída, Y. Este círculo é dividido em duas partes. Uma parte representa os pesos correspondentes às entradas e outra parte representa o valor limite, T.
A soma dos produtos dos insumos com pesos correspondentes é conhecida como weighted sum. Se esta soma ponderada for maior ou igual ao valor do Limiar, T, então apenas a saída Y será igual a um. Caso contrário, a saída, Y será igual a zero.
Mathematically, podemos escrever essa relação entre as entradas e a saída da porta de limiar como abaixo.
$$ Y = 1, se \: \: W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} + ... W_ {n} X_ {n} \ geq T $$
= 0, caso contrário.
Portanto, podemos implementar várias portas lógicas e funções Booleanas apenas alterando os valores dos pesos e / ou valor do Limiar, T.
Exemplo
Deixe-nos encontrar o simplified Boolean function para a seguinte porta de limiar.
Esta porta de limiar tem três entradas X 1 , X 2 , X 3 e uma saída Y.
Os pesos correspondentes às entradas X 1 , X 2 e X 3 são W 1 = 2, W 2 = 1 e W 3 = -4 respectivamente.
O valor da porta de limiar é T = -1.
o weighted sum da porta de limiar é
$$ W = W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} $$
Substitua os pesos dados na equação acima.
$$ \ Rightarrow W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $$
A saída da porta de limiar, Y será '1' se W ≥ −1, caso contrário, será '0'.
Os seguintes table mostra a relação entre a entrada e a saída para todas as combinações possíveis de entradas.
Entradas | Soma ponderada | Resultado | ||
---|---|---|---|---|
$ X_ {1} $ | $ X_ {2} $ | $ X_ {3} $ | $ W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $ | $ Y $ |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | -4 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | -3 | 0 |
1 | 0 | 0 | 2 | 1 |
1 | 0 | 1 | -2 | 0 |
1 | 1 | 0 | 3 | 1 |
1 | 1 | 1 | -1 | 1 |
A partir da tabela acima, podemos escrever o Boolean function para saída, Y como
$$ Y = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$
A simplificação desta função booleana usando 3 variable K-Map é mostrado na figura a seguir.
Portanto, o simplified Boolean function para determinada porta de limiar é $ Y = {X_ {3} '} + X_ {1} X_ {2} $.
Síntese de funções de limite
A porta de limiar também é chamada de universal gateporque podemos implementar qualquer função booleana usando portas de limiar. Às vezes, pode não ser possível implementar algumas portas lógicas e funções booleanas usando uma única porta de limiar. Nesse caso, podemos exigir várias portas Threshold.
Siga estes steps para implementar uma função booleana usando uma única porta de limiar.
Step 1 - Formule um Truth table para determinada função booleana.
Step 2 - Na tabela Verdade acima, adicione (inclua) mais uma coluna, que fornece a relação entre weighted sums e Threshold value.
Step 3 - Escreva a relação entre as somas ponderadas e o limite para cada combinação de entradas conforme mencionado abaixo.
Se a saída da função booleana for 1, a soma ponderada será maior ou igual ao valor do Limite para essa combinação de entradas.
Se a saída da função booleana for 0, a soma ponderada será menor que o valor do Limite para essa combinação de entradas.
Step 4 - Escolher os valores dos pesos e Limiares de forma que satisfaçam todas as relações presentes na última coluna da tabela acima.
step 5 - Desenhe o symbol da porta de limiar com esses pesos e valor de limiar.
Exemplo
Vamos implementar o seguinte Boolean function usando uma única porta de limiar.
$$ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$
A função booleana fornecida é uma função de três variáveis, que é representada na forma da soma dos termos mínimos. oTruth table desta função é mostrado abaixo.
Entradas | Resultado | ||
---|---|---|---|
X1 | X2 | X3 | Y |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Agora, vamos adicionar (incluir) mais uma coluna à tabela da Verdade acima. Esta última coluna contém as relações entreweighted sums (W) and Threshold valor (T) para cada combinação de entradas.
Entradas | Resultado | Relações entre W & T | ||
---|---|---|---|---|
X1 | X2 | X3 | Y | |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 ≥T |
0 | 0 | 1 | 0 | W 3 <T |
0 | 1 | 0 | 1 | W 2 ≥ T |
0 | 1 | 1 | 0 | W 2 + W 3 <T |
1 | 0 | 0 | 1 | W 1 ≥ T |
1 | 0 | 1 | 0 | W 1 + W 3 <T |
1 | 1 | 0 | 1 | W 1 + W 2 ≥ T |
1 | 1 | 1 | 1 | W 1 + W 2 + W 3 ≥ T |
A seguir estão as conclusões da tabela acima.
O valor do Limiar deve ser zero ou negativo com base na primeira relação.
O valor de W 3 deve ser negativo com base na primeira e na segunda relações.
Os valores de W 1 e W 2 devem ser maiores ou iguais ao valor limite com base na quinta e terceira relações.
W 2 deve ser maior que W 3 com base na quarta relação.
Podemos escolher os seguintes valores para pesos e Limiar com base nas conclusões acima.
W 1 = 2, W 2 = 1, W 3 = -4 & T = -1
o symbol de Threshold gate com os valores acima é mostrado abaixo.
Portanto, esta porta de limiar implementa o dado Boolean function, $ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $.