Convolução e Correlação
Convolução
Convolução é uma operação matemática usada para expressar a relação entre a entrada e a saída de um sistema LTI. Relaciona a resposta de entrada, saída e impulso de um sistema LTI como
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
Onde y (t) = saída de LTI
x (t) = entrada de LTI
h (t) = resposta ao impulso de LTI
Existem dois tipos de convoluções:
Convolução contínua
Convolução discreta
Convolução Contínua
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(ou)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Convolução Discreta
$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(ou)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
Usando a convolução, podemos encontrar a resposta de estado zero do sistema.
Deconvolução
A deconvolução é um processo reverso para a convolução amplamente utilizado no processamento de sinais e imagens.
Propriedades de convolução
Propriedade comutativa
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
Propriedade distributiva
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
Propriedade associativa
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
Mudança de propriedade
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Convolução com Impulso
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
Convolução de etapas da unidade
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
Propriedade de dimensionamento
Se $ x (t) * h (t) = y (t) $
então $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $
Diferenciação de Produto
se $ y (t) = x (t) * h (t) $
então $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
ou
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
A convolução de duas sequências causais é causal.
A convolução de duas sequências anti-causais é anti-causal.
A convolução de dois retângulos de comprimento desiguais resulta em um trapézio.
A convolução de dois retângulos de comprimento igual resulta em um triângulo.
Uma função complicada em si é igual à integração dessa função.
Example: Você sabe que $ u (t) * u (t) = r (t) $
De acordo com a nota acima, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
Aqui, você obtém o resultado apenas integrando $ u (t) $.
Limites do Sinal Convoluto
Se dois sinais forem convolutos, o sinal convoluto resultante terá o seguinte intervalo:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
Ex: encontre a faixa de convolução dos sinais abaixo
Aqui, temos dois retângulos de comprimento desigual para convoluir, o que resulta em um trapézio.
O alcance do sinal complicado é:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
Portanto, o resultado é trapézio com período 7.
Área do Sinal Convoluto
A área sob o sinal complicado é dada por $ A_y = A_x A_h $
Onde A x = área sob o sinal de entrada
A h = área sob resposta ao impulso
A y = área sob o sinal de saída
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
Faça a integração de ambos os lados
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
Sabemos que a área de qualquer sinal é a integração desse próprio sinal.
$ \ portanto A_y = A_x \, A_h $
Componente DC
O componente DC de qualquer sinal é dado por
$ \ text {componente DC} = {\ text {área do sinal} \ over \ text {período do sinal}} $
Ex: qual é o componente dc do sinal convoluto resultante dado abaixo?
Aqui, área de x 1 (t) = comprimento × largura = 1 × 3 = 3
área de x 2 (t) = comprimento × largura = 1 × 4 = 4
área do sinal convoluto = área de x 1 (t) × área de x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
Duração do sinal convoluto = soma dos limites inferiores <t <soma dos limites superiores
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \ portanto $ componente Dc do sinal convoluto = $ \ text {área do sinal} \ over \ text {período do sinal} $
Componente Dc = $ {12 \ over 7} $
Convolução Discreta
Vamos ver como calcular a convolução discreta:
i. To calculate discrete linear convolution:
Convolute duas sequências x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
Saída complicada = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: se quaisquer duas sequências tiverem m, n número de amostras respectivamente, então a sequência convoluta resultante terá [m + n-1] amostras.
Example: Convolute duas sequências x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
Saída convoluída y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Aqui x [n] contém 3 amostras eh [n] também está tendo 3 amostras, de modo que a sequência resultante tem 3 + 3-1 = 5 amostras.
ii. To calculate periodic or circular convolution:
A convolução periódica é válida para transformada discreta de Fourier. Para calcular a convolução periódica, todas as amostras devem ser reais. A convolução periódica ou circular também é chamada de convolução rápida.
Se duas sequências de comprimento m, n respectivamente são convoluídas usando convolução circular, então a sequência resultante tendo max [m, n] amostras.
Ex: convolute duas sequências x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} usando convolução circular
Saída normal convoluída y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Aqui x [n] contém 3 amostras eh [n] também contém 3 amostras. Portanto, a seqüência resultante obtida por convolução circular deve ter no máximo [3,3] = 3 amostras.
Agora, para obter o resultado da convolução periódica, as primeiras 3 amostras [já que o período é 3] da convolução normal são as mesmas, as próximas duas amostras são adicionadas às primeiras amostras, conforme mostrado abaixo:
$ \ portanto $ Resultado da convolução circular $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
Correlação
A correlação é uma medida de similaridade entre dois sinais. A fórmula geral para correlação é
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
Existem dois tipos de correlação:
Autocorrelação
Correlação de Cros
Função de Auto Correlação
É definido como correlação de um sinal consigo mesmo. A função de correlação automática é uma medida de similaridade entre um sinal e sua versão com atraso. É representado por R ($ \ tau $).
Considere a sinais x (t). A função de autocorrelação de x (t) com sua versão atrasada é dada por
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ turno ve]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- mudança ve]} $$
Onde $ \ tau $ = pesquisa ou varredura ou parâmetro de atraso.
Se o sinal for complexo, a função de autocorrelação é dada por
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- mudança ve] } $$
Propriedades da função de autocorrelação do sinal de energia
A autocorrelação exibe simetria conjugada, ou seja, R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
Função de correlação automática do sinal de energia na origem, ou seja, $ \ tau $ = 0 é igual à energia total desse sinal, que é dado como:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
Função de correlação automática $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
A função de correlação automática é máxima em $ \ tau $ = 0, ou seja | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
Função de correlação automática e densidades espectrais de energia são pares de transformada de Fourier. ie
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $
$ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Função de correlação automática de sinais de energia
A função de autocorrelação do sinal de potência periódica com o período T é dada por
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
Propriedades
A correlação automática do sinal de potência exibe simetria conjugada, ou seja, $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
A função de correlação automática do sinal de potência em $ \ tau = 0 $ (na origem) é igual à potência total desse sinal. ie
$ R (0) = \ rho $
Função de correlação automática do sinal de potência $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
A função de correlação automática do sinal de energia é máxima em $ \ tau $ = 0, ou seja,
$ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
A função de correlação automática e as densidades espectrais de potência são pares de transformadas de Fourier. ie,
$ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Espectro de densidade
Vamos ver espectros de densidade:
Espectro de densidade de energia
O espectro de densidade de energia pode ser calculado usando a fórmula:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
Espectro de densidade de potência
O espectro de densidade de potência pode ser calculado usando a fórmula:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
Função de Correlação Cruzada
A correlação cruzada é a medida de similaridade entre dois sinais diferentes.
Considere dois sinais x 1 (t) e x 2 (t). A correlação cruzada desses dois sinais $ R_ {12} (\ tau) $ é dada por
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- mudança ve]} $$
Se os sinais são complexos, então
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ turno ve]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- mudança ve]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ turno ve]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- mudança ve]} $ $
Propriedades da função de correlação cruzada de sinais de energia e potência
A correlação automática exibe simetria conjugada, ou seja, $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.
A correlação cruzada não é comutativa como a convolução, ou seja
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
Se R 12 (0) = 0 significa, se $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, então os dois sinais são ditos ortogonais.
Para sinal de potência se $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ então dois sinais são ditos ortogonais.
A função de correlação cruzada corresponde à multiplicação dos espectros de um sinal para o conjugado complexo do espectro de outro sinal. ie
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
Isso também é chamado de teorema de correlação.
Teorema de Parseval
O teorema de Parseval para sinais de energia afirma que a energia total em um sinal pode ser obtida pelo espectro do sinal como
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $
Note: Se um sinal tem energia E, então a versão na escala de tempo desse sinal x (at) tem energia E / a.