Propriedades da Laplace Transforms

As propriedades da transformação de Laplace são:

Propriedade de Linearidade

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

& $ \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Então a propriedade de linearidade afirma que

$ ax (t) + by (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} a X (s) + b Y (s) $

Propriedade Time Shifting

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Então, a propriedade de mudança de tempo afirma que

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- st_0} X (s) $

Propriedade de deslocamento de frequência

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Então, a propriedade de mudança de frequência afirma que

$ e ^ {s_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s-s_0) $

Propriedade de reversão do tempo

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Então, a propriedade de reversão do tempo afirma que

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (-s) $

Propriedade de escala de tempo

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Então, a propriedade de escala de tempo afirma que

$ x (at) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over | a |} X ({s \ over a}) $

Propriedades de diferenciação e integração

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Então, a propriedade de diferenciação afirma que

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} s. X (s) - s. X (0) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} (s) ^ n. X (s) $

A propriedade de integração afirma que

$ \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s} X (s) $

$ \ iiint \, ... \, \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s ^ n} X (s) $

Propriedades de multiplicação e convolução

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

e $ y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Então, a propriedade de multiplicação afirma que

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi j} X (s) * Y (s) $

A propriedade de convolução afirma que

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) .Y (s) $