Laplace Transforms (LT)

A transformada de Fourier complexa também é chamada de Transformada de Laplace bilateral. Isso é usado para resolver equações diferenciais. Considere um sistema LTI encerrado por um sinal exponencial complexo da forma x (t) = Ge ^st .

Onde s = qualquer número complexo = $ \ sigma + j \ omega $,

σ = real de s, e

ω = imaginário de s

A resposta do LTI pode ser obtida pela convolução da entrada com sua resposta ao impulso, ou seja

$ y (t) = x (t) \ vezes h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $

$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $

Onde H (S) = transformada de Laplace de $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $

Da mesma forma, a transformação de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $

Relação entre as transformadas de Laplace e Fourier

Transformação de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $

Substitua s = σ + jω na equação acima.

$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $

$ \ portanto X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $

$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad para \, \, s = j \ omega $

Transformada inversa de Laplace

Você sabe que $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $

$ \ a x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $

Aqui, $ \ sigma + j \ omega = s $

$ jdω = ds → dω = ds / j $

$ \ portanto x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $

As equações 1 e 4 representam a transformada de Laplace e inversa de Laplace de um sinal x (t).

Condições de existência da transformada de Laplace

As condições de Dirichlet são usadas para definir a existência da transformada de Laplace. ie

A função f (t) possui um número finito de máximos e mínimos.
Deve haver um número finito de descontinuidades no sinal f (t), no intervalo de tempo dado.
Deve ser absolutamente integrável no intervalo de tempo determinado. ie

$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $

Teoremas de valor inicial e final

Se a transformada de Laplace de uma função desconhecida x (t) for conhecida, então é possível determinar os valores inicial e final desse sinal desconhecido, isto é, x (t) em t = 0 ⁺ et = ∞.