Transformadas de Fourier

A principal desvantagem da série Fourier é que ela só se aplica a sinais periódicos. Existem alguns sinais produzidos naturalmente, como não periódico ou aperiódico, que não podemos representar usando a série de Fourier. Para superar esta lacuna, Fourier desenvolveu um modelo matemático para transformar sinais entre o domínio do tempo (ou espacial) para o domínio da frequência e vice-versa, que é chamado de 'transformada de Fourier'.

A transformada de Fourier tem muitas aplicações em física e engenharia, como análise de sistemas LTI, RADAR, astronomia, processamento de sinais, etc.

Derivando a transformada de Fourier da série de Fourier

Considere um sinal periódico f (t) com período T. A representação da série complexa de Fourier de f (t) é dada como

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

Seja $ {1 \ over T_0} = \ Delta f $, então a equação 1 torna-se

$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

mas você sabe disso

$ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

Substitua na equação 2.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

Seja $ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

No limite de $ T \ to \ infty, \ Delta f $ se aproxima do diferencial $ df, k \ Delta f $ torna-se uma variável contínua $ f $ e a soma torna-se integração

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Onde} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

Transformada de Fourier de funções básicas

Vamos passar pela transformada de Fourier das funções básicas:

FT da função GATE

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$

FT da Função de Impulso

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ portanto \ delta (\ omega) = 1 $

FT da Função de Etapa da Unidade:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $

FT de exponenciais

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $

FT da função Signum

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

Condições de existência da transformada de Fourier

Qualquer função f (t) pode ser representada usando a transformada de Fourier apenas quando a função satisfaz as condições de Dirichlet. ie

• A função f (t) possui um número finito de máximos e mínimos.

• Deve haver um número finito de descontinuidades no sinal f (t), no intervalo de tempo dado.

• Deve ser absolutamente integrável no intervalo de tempo determinado, ou seja,

  $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Transformadas de Fourier em tempo discreto (DTFT)

A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) ou a transformada de Fourier de uma sequência de tempo discreto x [n] é uma representação da sequência em termos da sequência exponencial complexa $ e ^ {j \ omega n} $.

A sequência DTFT x [n] é dada por

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

Aqui, X (ω) é uma função complexa da variável de frequência real ω e pode ser escrita como

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

Onde X _re (ω), X _img (ω) são partes reais e imaginárias de X (ω) respectivamente.

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

E X (ω) também pode ser representado como $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | e ^ {j \ theta (ω)} $

Onde $ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $ são chamados de espectros de magnitude e fase de X (ω).

Transformada de Fourier de tempo discreto inverso

$$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

Condição de convergência:

A série infinita na equação 1 pode ser convergente ou não. x (n) é absolutamente somatório.

$$ \ text {quando} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Uma sequência absolutamente somatória tem sempre uma energia finita, mas uma sequência de energia finita não deve ser necessariamente somatória absoluta.