Transformadas Z (ZT)
A análise de sistemas LTI de tempo contínuo pode ser feita usando transformações z. É uma ferramenta matemática poderosa para converter equações diferenciais em equações algébricas.
A transformada z bilateral (dois lados) de um sinal de tempo discreto x (n) é dada como
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
A transformação z unilateral (unilateral) de um sinal de tempo discreto x (n) é dada como
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
A transformada Z pode existir para alguns sinais para os quais a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) não existe.
Conceito de Transformada Z e Transformada Z Inversa
A transformada Z de um sinal de tempo discreto x (n) pode ser representada com X (Z), e é definida como
$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $
Se $ Z = re ^ {j \ omega} $ então a equação 1 torna-se
$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $
$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $
$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $
A equação acima representa a relação entre a transformada de Fourier e a transformada Z.
$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $
Transformada Z inversa
$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $
$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $
$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $
$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $
Substitua $ re ^ {j \ omega} = z $.
$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $
$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $
Substitua na equação 3.
$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $
$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, x (n) z ^ {- n} $$ $$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi j } \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $$