Выпуклая оптимизация - аффинное множество

Множество $ A $ называется аффинным, если для любых двух различных точек прямая, проходящая через эти точки, принадлежит множеству $ A $.

Note -

• $ S $ является аффинным множеством тогда и только тогда, когда оно содержит каждую аффинную комбинацию своих точек.

• Пустые и одноэлементные множества являются аффинными и выпуклыми множествами.

  Например, решение линейного уравнения - это аффинное множество.

Доказательство

Пусть S - решение линейного уравнения.

По определению $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $

Пусть $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ и $ Ax_2 = b $

Чтобы доказать: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right ) b = b $

Таким образом, S - аффинное множество.

Теорема

Если $ C $ - аффинное множество, а $ x_0 \ in C $, то множество $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ является подпространством C.

Доказательство

Пусть $ x_1, x_2 \ in V $

Чтобы показать: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ для некоторых $ \ alpha, \ beta $

Теперь $ x_1 + x_0 \ in C $ и $ x_2 + x_0 \ in C $ по определению V

Теперь $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $

Но $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ в C $, потому что C - аффинное множество .

Следовательно, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

Значит доказано.