Сильно квазивыпуклая функция

Пусть $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ и S - непустое выпуклое множество в $ \ mathbb {R} ^ n $, тогда f - сильно квазивыпуклая функция, если для любых $ x_1, x_2 \ in S $ с $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, мы имеем $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

Теорема

Квазивыпуклая функция $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ на непустом выпуклом множестве S в $ \ mathbb {R} ^ n $ является сильно квазивыпуклой функцией, если она не является постоянной на отрезке прямой, соединяющем любой точки С.

Доказательство

Пусть f - квазивыпуклая функция, непостоянная на отрезке, соединяющем любые точки S.

Предположим, что f не является сильно квазивыпуклой функцией.

Существуют такие $ x_1, x_2 \ in S $ с $ x_1 \ neq x_2 $, что

$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ и $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $

Поскольку f не является постоянным в $ \ left [x_1, z \ right] $ и $ \ left [z, x_2 \ right] $

Значит, существуют $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ и $ v = \ left [z, x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$

Поскольку f квазивыпуклая,

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$

Но z - это любая точка между u и v, если какие-либо из них равны, то f постоянна.

Следовательно, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

что противоречит квазивыпуклости f при $ z \ in \ left [u, v \ right] $.

Следовательно, f - сильно квазивыпуклая функция.

Теорема

Пусть $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ и S - непустое выпуклое множество в $ \ mathbb {R} ^ n $. Если $ \ hat {x} $ - локальное оптимальное решение, то $ \ hat {x} $ - единственное глобальное оптимальное решение.

Доказательство

Поскольку сильная квазивыпуклая функция также является строго квазивыпуклой функцией, таким образом, локальное оптимальное решение является глобальным оптимальным решением.

Uniqueness - Пусть f достигает глобального оптимального решения в двух точках $ u, v \ in S $

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ forall x \ in S $$

Если u - глобальное оптимальное решение, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ и $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ влево (и \ вправо) = е \ влево (в \ вправо) $

$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = е \ влево (и \ вправо) $$

что является противоречием.

Следовательно, существует только одно глобальное оптимальное решение.

Замечания

• Сильно квазивыпуклая функция также является строго квазивыпуклой функцией.
• Строго выпуклая функция может быть или не быть сильно квазивыпуклой.
• Дифференцируемое строго выпуклое является сильно квазивыпуклым.