Крайняя точка выпуклого множества

Пусть S - выпуклое множество в $ \ mathbb {R} ^ n $. Вектор $ x \ in S $ называется крайней точкой S, если $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ с $ x_1, x_2 \ in S $ и $ \ lambda \ в \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

пример

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

Крайняя точка, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ } $

Крайняя точка, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S - многогранник, образованный точками $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ right), \ left (0,2 \ right) \ right \} $

Крайняя точка, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \} $

Замечания

• Любую точку выпуклого множества S, можно представить как выпуклую комбинацию его крайних точек.

• Это верно только для замкнутых и ограниченных множеств в $ \ mathbb {R} ^ n $.

• Это может быть неверно для неограниченных множеств.

k крайних точек

Точка в выпуклом множестве называется k-экстремальной тогда и только тогда, когда она является внутренней точкой k-мерного выпуклого множества внутри S и не является внутренней точкой (k + 1) -мерного выпуклого множества внутри S. В принципе, для выпуклого множества S k крайних точек образуют k-мерные открытые грани.