Выпуклая оптимизация - направление
Пусть S - выпуклое замкнутое множество в $ \ mathbb {R} ^ n $. Ненулевой вектор $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ называется направлением S, если для каждого $ x \ in S, x + \ lambda d \ in S, \ forall \ lambda \ geq 0. $
Два направления $ d_1 $ и $ d_2 $ на S называются различными, если $ d \ neq \ alpha d_2 $ при $ \ alpha> 0 $.
Направление $ d $ в $ S $ называется крайним направлением, если его нельзя записать как положительную линейную комбинацию двух различных направлений, т. Е. Если $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ для $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, тогда $ d_1 = \ alpha d_2 $ для некоторого $ \ alpha $.
Любое другое направление можно выразить как положительное сочетание крайних направлений.
Для выпуклого множества $ S $ направление d такое, что $ x + \ lambda d \ in S $ для некоторого $ x \ in S $ и всех $ \ lambda \ geq0 $ называется recessive за $ S $.
Пусть E - множество точек, в которых некоторая функция $ f: S \ rightarrow $ над непустым выпуклым множеством S в $ \ mathbb {R} ^ n $ достигает своего максимума, тогда $ E $ называется открытой гранью $ S $. Направления открытых лиц называются открытыми направлениями.
Луч, направление которого является крайним направлением, называется крайним лучом.
пример
Рассмотрим функцию $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, где $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Пусть d единичный вектор в $ \ mathbb {R} ^ n $
Тогда d - это направление для функции f, потому что для любого $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.