Выпуклая оптимизация - минимумы и максимумы

Local Minima или Minimize

$ \ bar {x} \ in \: S $ называется локальным минимумом функции $ f $, если $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $, где $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ означает окрестность $ \ bar {x} $, т. е. $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ означает $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Локальный Максимум или Максимайзер

$ \ bar {x} \ in \: S $ называется локальным максимумом функции $ f $, если $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $, где $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ означает окрестность $ \ bar {x} $, т. е. $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ означает $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Глобальные минимумы

$ \ bar {x} \ in \: S $ называется глобальным минимумом функции $ f $, если $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ для всех x \ in S $

Глобальные максимумы

$ \ bar {x} \ in \: S $ называется глобальным максимумом функции $ f $, если $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ для всех x \ in S $

Примеры

Step 1- найти локальные минимумы и максимумы $ f \ left (\ bar {x} \ right) = \ left | х ^ 2-4 \ право | $

Solution -

Из графика указанной выше функции видно, что локальные минимумы возникают при $ x = \ pm 2 $, а локальные максимумы - при $ x = 0 $.

Step 2- найти глобальные минимумы функции $ f \ left (x \ right) = \ left | 4x ^ 3-3x ^ 2 + 7 \ вправо | $

Solution -

Из графика вышеупомянутой функции ясно, что глобальный минимум происходит при $ x = -1 $.