Необходимые условия оптимальности Каруша-Куна-Таккера.

Рассмотрим проблему -

$ min \: f \ left (x \ right) $ такое, что $ x \ in X $, где X - открытое множество в $ \ mathbb {R} ^ n $ и $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, i = 1, 2, ..., m $

Пусть $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Пусть $ \ hat {x} \ in S $ и пусть $ f $ и $ g_i, i \ in I $ дифференцируемы в $ \ hat {x} $, а $ g_i, i \ in J $ непрерывны в $ \ hat {x} $. Кроме того, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ линейно независимы. Если $ \ hat {x} $ решает указанную выше проблему локально, то существует $ u_i, i \ in I $ такое, что

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ in I $

Если $ g_i, i \ in J $ также дифференцируемы в $ \ hat {x} $. затем $ \ hat {x} $, затем

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

пример

Рассмотрим следующую проблему -

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

такое, что $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ и $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Пусть $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_ {1} $ и $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $

Таким образом, указанные выше ограничения можно записать как -

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ и $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Таким образом, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $, следовательно , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right ) $ и

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Таким образом, помещая эти значения в первое условие условий Каруша-Куна-Таккера, мы получаем:

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ и $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Таким образом, условия Каруша-Куна-Таккера выполнены.