Suy luận - Bất bình đẳng

Giới thiệu

Sự kết hợp của hai bài toán cơ bản có liên quan đến các bài toán dựa trên bất đẳng thức và bất đẳng thức mã hóa.

Trong loại vấn đề này, sơ đồ mã hóa được nói hoàn toàn trong chính câu hỏi. Để giải mã sự bất bình đẳng trong một vấn đề nhất định sẽ không còn khiến bạn đau đầu hơn vài giây nữa.

Về cơ bản, nó là một vấn đề về bất bình đẳng và đó là khía cạnh này cần được nắm vững. Do đó, trước tiên chúng ta học những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.

Chúng ta biết kết quả của phép nhân giữa 5 với 3 và số 15 là equal. Vì chúng làequal, đó là bằng nhau nhưng trong trường hợp 5 × 5 ≠ 15, tích của 5 và 5 là not equal đến số 15, nó là một bất bình đẳng.

Dấu hiệu của sự bất bình đẳng

Greater than- Nó được ký hiệu là>. Ví dụ: 5 × 5> 15

Less than- Nó được ký hiệu là <. Ví dụ: 5 × 2 <15

Greater than or equal to- Nó được ký hiệu là ≥. Khi chúng ta không biết điều kiện chính xác của bất đẳng thức giữa hai số, chúng ta sử dụng ký hiệu này. Ví dụ, hãy xem xét hai sốx và q. Chúng ta biết rằngx is not less than q. Trong trường hợp này x có thể bằng q hoặc lớn hơn q nên ta sử dụng dấu ≥.

Less than or equal to- Nó được ký hiệu là ≤. Khi một số nhỏ hơn một số khác hoặc bằng số đó thì ký hiệu này được sử dụng. Ví dụ, hãy xem xét hai sốX và B Ở đâu X is not greater than B. Trong trường hợp này, X nhỏ hơn hoặc bằng B. Vì vậy, nó có thể được biểu diễn dưới dạngX ≤ B.

Kết hợp các bất bình đẳng

Hai quy tắc vàng để kết hợp các bất đẳng thức như sau:

A common term can combine two inequalities.

Example 1

Inequality - A> B, C> D

Ở đây có bốn thuật ngữ được sử dụng nhưng không có thuật ngữ chung. Vì vậy hai bất đẳng thức này không thể kết hợp với nhau.

Example 2

Inequality - A ≤ B, X ≥ Y

Vì vậy, ở đây cũng thiếu thuật ngữ chung. Vì vậy chúng không thể kết hợp với nhau.

If the common term is higher than one and less than the other, both the inequalities can be combined.

Example 1

Inequality - P> X, X> C.

Ở đây, số hạng phổ biến là X. X lớn hơn C nhưng nhỏ hơn P. Vì vậy, kết hợp sẽ như thế này - P> X> C hoặc C <X <P.

Example 2

Inequality - X <P, X ≥ C

Ở đây X nhỏ hơn P và cao hơn hoặc bằng số hạng C. Vì X là chung nên sự kết hợp là có thể. Tức là - P> X ≥ C hoặc C ≤ X <P.

Rút ra kết luận từ bất đẳng thức tổng hợp -

Một quy tắc khác, the third golden rule, được sử dụng để rút ra kết luận từ một bất đẳng thức kết hợp như sau:

Cộng hai bất đẳng thức và rút ra kết luận bằng cách để số hạng giữa biến mất. Bất đẳng thức kết luận có dấu ≥ nếu và chỉ khi cả hai dấu trong bất đẳng thức kết hợp đều ≥ và ngược lại.

Do đó, kết luận thông thường sẽ có dấu>, trừ khi dấu ≥ xuất hiện hai lần trong bất đẳng thức kết hợp.

Example 1 - Rút ra kết luận từ các bất đẳng thức kết hợp sau.

i. x> y> z

ii. x <y <z

Solution -

i. x> z

ii. x <z

Chiến lược giải quyết vấn đề về bất bình đẳng và bất bình đẳng được mã hóa

Các bước liên quan để giải quyết vấn đề như sau:

Step 1 - Gọn gàng và nhanh chóng giải mã ký hiệu đề cập đến hoạt động số học.

Example- Cho rằng P α Q. có nghĩa là P> Q. Do đó thay α bằng>. Bạn nên lấy từng mã một và thay thế nó bằng ký hiệu toán học ban đầu của nó trước khi chuyển sang mã tiếp theo và bạn nên thực hiện nhanh chóng.

Step 2 - Đưa ra từng kết luận một và quyết định những phát biểu nào phù hợp để đánh giá kết luận.

Bây giờ, điều này cần một số suy nghĩ. Ý bạn là gì bởi một tuyên bố có liên quan? Ở đây chúng tôi muốn nói rằng tuyên bố không vô ích để đưa ra kết luận. Nếu có một kết luận nói x> y thì một câu lệnh như a> b là vô ích vì nó không chứa x hoặc y. Do đó, bất kỳ phân tích nào cũng không thể cho chúng ta biết bất cứ điều gì về kết luận này. Các câu có liên quan là những câu có thể được kết hợp để chứng minh hoặc bác bỏ kết luận đó. Vì vậy, câu lệnh này không phù hợp với x> y.

Để quyết định câu nào phù hợp với một kết luận, hãy lấy hai thuật ngữ của một kết luận đã cho và xem liệu mỗi thuật ngữ trong số chúng có xuất hiện riêng biệt với một thuật ngữ chung duy nhất hay không. Những câu này sẽ là những câu có liên quan.

Example - Giả sử sau khi thực hiện bước 1, ta có câu lệnh sau;

M> N, L = M, O> N, L ≤ K

Conclusion -

a) M <K, b) L> N

Step 3- Sử dụng ba quy tắc vàng để kết hợp các phát biểu có liên quan và rút ra kết luận từ đó. Quy tắc vàng là;

Rule 1 - Phải có một thuật ngữ chung.

Rule 2 - Số hạng chung phải nhỏ hơn hoặc bằng một số hạng và lớn hơn hoặc bằng số hạng khác.

Rule 3- Kết luận là bất đẳng thức thu được bằng cách biến mất số hạng chung và nó có dấu ≤ hoặc dấu ≥ nếu và chỉ khi cả hai bất đẳng thức ở bước thứ hai có dấu ≤ hoặc dấu ≥. Trong tất cả các trường hợp khác, sẽ có dấu <hoặc dấu> trong phần kết luận.

Đối với kết luận a (M <K), các phát biểu liên quan là

M = L và L ≤ K.

Bằng cách kết hợp chúng ta nhận được M = L <K

Vì vậy, M ≤ K (theo bước 3)

Bây giờ M ≤ K không ngụ ý rằng M <K vì M ≤ K cho phép M nhỏ hơn hoặc bằng K, điều này không đúng trong trường hợp M <K.

Đối với kết luận b, các câu có liên quan là

M> N và L = M

Sau khi kết hợp chúng ta nhận được, L = M> N L> N

Do đó kết luận được xác minh, tốt và tốt. Vì vậy, L> N. Nếu không, hãy thực hiện các kiểm tra sau.

Check 1 - Kiểm tra xem kết luận có trực tiếp theo sau chỉ một câu lệnh đã cho hay không.

Đôi khi phát biểu có thể ở dạng A ≥ B và một kết luận có thể ở dạng B ≤ A. Rõ ràng là cả hai đều hoàn toàn giống nhau nhưng đôi khi chúng ta dễ bỏ qua những thủ thuật nhỏ như vậy của giám khảo.

Example - Xét những điều sau: (Đặt α nghĩa là>, β nghĩa là ≥, γ nghĩa là =, δ nghĩa là <, η nghĩa là ≤)

Cho, câu lệnh đã cho: E γ F, C δ D, F δ g, D β F

Conclusion - 1. G η F.

Ở đây kết luận là G η F hoặc G ≤ F và nó đồng nhất với F β G hoặc F ≥ G. Do đó, nó trực tiếp theo sau từ một câu lệnh duy nhất.

Check 2 - Kết luận bạn đạt được sau bước thứ ba có thể giống với kết luận đã cho mặc dù thoạt nhìn có thể không giống như vậy.

Check 3 - Nếu sau bước thứ ba, bạn nhận được một kết luận có dấu ≥ và hai kết luận đã cho có dấu> và dấu = giữa các số hạng giống nhau thì lựa chọn 1 hoặc 2 là đúng.

For Example- Giả sử bạn đạt đến A ≥ B sau khi thực hiện bước thứ ba. Bây giờ giả sử các kết luận đã cho là - I) A> B và II) A = B. Khi đó lựa chọn “I hoặc II sau” là đúng.

Tương tự, nếu bạn kết luận rằng M ≤ N và kết luận đã cho là I) M <N và II) M = N thì một câu trả lời tương tự như sau.

Check 4 - Nếu hai kết luận đã cho có các dấu hiệu cho dưới đây giữa các số hạng giống nhau

a) Dấu hiệu ≤ và>, hoặc

b) Dấu hiệu <và>, hoặc

c) Dấu hiệu> và ≤, hoặc

d) Dấu hiệu ≥ và <

và nếu không có kết luận nào được chấp nhận trong bất kỳ bước nào ở trên; lựa chọn một trong hai lựa chọn sau là đúng.

Giả sử, trong một câu hỏi đã cho, kết luận là

a) A ≥ B b) A <B

Bây giờ, giả sử rằng cả hai đều không được chứng minh là đúng bằng bất kỳ bước nào trước đó. Vì chúng có cùng một cặp (A và B) và dấu là ≥ và <; lựa chọn sau là đúng.

Note- Kiểm tra 4 chỉ đơn thuần cho biết rằng một số chỉ có thể có ba vị trí so với một số khác. Nó có thể nhỏ hơn hoặc bằng hoặc lớn hơn cái kia.

Điều này đúng với bất kỳ hai con số nào. Có nghĩa là, [A ≤ B hoặc A> B] là một phát biểu hoàn toàn đúng, vì A có thể là (nhỏ hơn hoặc bằng) hoặc (lớn hơn) B.

Do đó, đối với hai số A và B bất kỳ, kết quả sau luôn đúng:

I. A ≤ B hoặc A <B

II. A <B hoặc A> B

III. A> B hoặc A ≤ B

IV. A ≥ B hoặc A <B

Bốn cặp này được gọi là complementary pairs. Trong những trường hợp như vậy, một trong hai tuyên bố sẽ luôn đúng. Chúng tôi chọn "hoặc sau" làm câu trả lời. Nhưng hãy nhớ rằng, chúng tôi chỉ chọn đây làm câu trả lời nếu cả hai tuyên bố đều không được chứng minh ở bất kỳ bước nào trước đó.