Convolution và tương quan
Convolution
Convolution là một phép toán được sử dụng để biểu thị mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của một hệ thống LTI. Nó liên quan đến đầu vào, đầu ra và phản ứng xung của hệ thống LTI như
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
Trong đó y (t) = sản lượng LTI
x (t) = đầu vào của LTI
h (t) = phản ứng xung của LTI
Có hai loại co giật:
Tích chập liên tục
Tích chập rời rạc
Chuyển đổi liên tục
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(hoặc là)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Chuyển đổi rời rạc
$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(hoặc là)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
Bằng cách sử dụng tích chập, chúng ta có thể tìm thấy phản ứng trạng thái không của hệ thống.
Giải mã
Deconvolution là quá trình đảo ngược thành tích chập được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và hình ảnh.
Thuộc tính của Convolution
Tính chất giao hoán
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
Thuộc tính phân tán
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
Bất động sản kết hợp
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
Dịch chuyển tài sản
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Convolution with Impulse
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
Chuyển đổi các bước đơn vị
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
Quy mô tài sản
Nếu $ x (t) * h (t) = y (t) $
thì $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $
Phân biệt đầu ra
nếu $ y (t) = x (t) * h (t) $
thì $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
hoặc là
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
Sự hoán chuyển của hai chuỗi nhân quả là quan hệ nhân quả.
Sự chuyển đổi của hai chuỗi phản nhân quả là phản nhân quả.
Phép cộng của hai hình chữ nhật có độ dài không bằng nhau tạo ra hình thang.
Phép cộng của hai hình chữ nhật có độ dài bằng nhau được một hình tam giác.
Bản thân một hàm phức tạp bằng với tích phân của hàm đó.
Example: Bạn biết rằng $ u (t) * u (t) = r (t) $
Theo lưu ý trên, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
Ở đây, bạn nhận được kết quả chỉ bằng cách tích phân $ u (t) $.
Giới hạn của tín hiệu chuyển đổi
Nếu hai tín hiệu được tạo phức hợp thì tín hiệu phức hợp thu được có phạm vi sau:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
Ví dụ: tìm phạm vi tích tụ của các tín hiệu được đưa ra bên dưới
Ở đây, chúng ta có hai hình chữ nhật có chiều dài không bằng nhau để uốn cong, tạo ra hình thang.
Phạm vi của tín hiệu phức tạp là:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
Do đó, kết quả là hình thang có chu kỳ 7.
Khu vực tín hiệu chuyển đổi
Vùng dưới tín hiệu phức tạp được cho bởi $ A_y = A_x A_h $
Trong đó A x = vùng dưới tín hiệu đầu vào
A h = diện tích dưới phản ứng xung
A y = vùng dưới tín hiệu đầu ra
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
Tích hợp cả hai bên
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
Chúng ta biết rằng khu vực của bất kỳ tín hiệu nào là sự tích hợp của chính tín hiệu đó.
$ \ do đó A_y = A_x \, A_h $
Thành phần DC
Thành phần DC của bất kỳ tín hiệu nào được cung cấp bởi
$ \ text {DC component} = {\ text {khu vực của tín hiệu} \ over \ text {giai đoạn của tín hiệu}} $
Ví dụ: thành phần dc của tín hiệu phức tạp kết quả được đưa ra dưới đây là gì?
Ở đây diện tích x 1 (t) = chiều dài × chiều rộng = 1 × 3 = 3
diện tích x 2 (t) = chiều dài × chiều rộng = 1 × 4 = 4
diện tích tín hiệu phức tạp = diện tích x 1 (t) × diện tích x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
Thời lượng của tín hiệu phức tạp = tổng các giới hạn dưới <t <tổng các giới hạn trên
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \ do đó $ Dc thành phần của tín hiệu phức tạp = $ \ text {vùng của tín hiệu} \ over \ text {chu kỳ của tín hiệu} $
Thành phần dc = $ {12 \ trên 7} $
Chuyển đổi rời rạc
Hãy cùng chúng tôi xem cách tính tích chập rời rạc:
i. To calculate discrete linear convolution:
Chuyển đổi hai chuỗi x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
Đầu ra được chuyển đổi = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: nếu hai dãy bất kỳ có m, n số mẫu tương ứng, thì dãy phức tạp thu được sẽ có [m + n-1] mẫu.
Example: Chuyển đổi hai chuỗi x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
Đầu ra được biến đổi y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Ở đây x [n] chứa 3 mẫu và h [n] cũng có 3 mẫu nên dãy kết quả có 3 + 3-1 = 5 mẫu.
ii. To calculate periodic or circular convolution:
Tích chập tuần hoàn có giá trị đối với biến đổi Fourier rời rạc. Để tính tích chập tuần hoàn, tất cả các mẫu phải là thực. Tích chập tuần hoàn hoặc tích lũy tròn còn được gọi là tích chập nhanh.
Nếu hai dãy có độ dài m, n tương ứng được tích chập bằng cách sử dụng tích chập tròn thì dãy thu được có tối đa [m, n] mẫu.
Ví dụ: chập hai chuỗi x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} sử dụng tích chập tròn
Đầu ra chuyển đổi bình thường y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Ở đây x [n] chứa 3 mẫu và h [n] cũng có 3 mẫu. Do đó, dãy kết quả thu được bằng tích chập tròn phải có tối đa [3,3] = 3 mẫu.
Bây giờ để có kết quả tích chập tuần hoàn, 3 mẫu đầu tiên [vì chu kỳ là 3] của tích chập bình thường giống nhau, hai mẫu tiếp theo được thêm vào mẫu đầu tiên như hình dưới đây:
$ \ do đó $ Kết quả tích chập vòng tròn $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
Tương quan
Tương quan là thước đo mức độ giống nhau giữa hai tín hiệu. Công thức chung cho sự tương quan là
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
Có hai loại tương quan:
Tương quan tự động
Tương quan Cros
Chức năng tương quan tự động
Nó được định nghĩa là sự tương quan của một tín hiệu với chính nó. Chức năng tương quan tự động là một phép đo mức độ tương tự giữa tín hiệu và phiên bản bị trễ thời gian của nó. Nó được biểu diễn bằng R ($ \ tau $).
Xét một tín hiệu x (t). Hàm tương quan tự động của x (t) với phiên bản trễ thời gian của nó được đưa ra bởi
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Trong đó $ \ tau $ = tham số tìm kiếm hoặc quét hoặc trì hoãn.
Nếu tín hiệu phức tạp thì chức năng tương quan tự động được cung cấp bởi
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$
Thuộc tính của chức năng tương quan tự động của tín hiệu năng lượng
Tương quan tự động thể hiện đối xứng liên hợp, tức là R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
Hàm tương quan tự động của tín hiệu năng lượng tại điểm gốc, tức là tại $ \ tau $ = 0 bằng tổng năng lượng của tín hiệu đó, được cho là:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
Chức năng tương quan tự động $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Chức năng tương quan tự động tối đa tại $ \ tau $ = 0 tức là | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
Hàm tương quan tự động và mật độ phổ năng lượng là cặp biến đổi Fourier. I E
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $
$ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Chức năng tương quan tự động của tín hiệu nguồn
Hàm tương quan tự động của tín hiệu công suất tuần hoàn với chu kỳ T được cho bởi
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
Tính chất
Tương quan tự động của tín hiệu công suất thể hiện đối xứng liên hợp, tức là $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
Chức năng tương quan tự động của tín hiệu công suất tại $ \ tau = 0 $ (tại điểm gốc) bằng tổng công suất của tín hiệu đó. I E
$ R (0) = \ rho $
Chức năng tương quan tự động của tín hiệu nguồn $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Chức năng tương quan tự động của tín hiệu nguồn tối đa là $ \ tau $ = 0 tức là
$ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
Chức năng tương quan tự động và mật độ phổ công suất là cặp biến đổi Fourier. I E,
$ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Phổ mật độ
Hãy để chúng tôi xem phổ mật độ:
Phổ mật độ năng lượng
Phổ mật độ năng lượng có thể được tính bằng công thức:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
Phổ mật độ công suất
Phổ mật độ công suất có thể được tính bằng công thức:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
Chức năng tương quan chéo
Tương quan chéo là thước đo mức độ giống nhau giữa hai tín hiệu khác nhau.
Xét hai tín hiệu x 1 (t) và x 2 (t). Mối tương quan chéo của hai tín hiệu này $ R_ {12} (\ tau) $ được đưa ra bởi
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Nếu tín hiệu phức tạp thì
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
Tính chất của chức năng tương quan chéo của tín hiệu năng lượng và công suất
Tương quan tự động thể hiện đối xứng liên hợp, tức là $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.
Tương quan chéo không có tính chất giao hoán như tích chập, tức là
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
Nếu R 12 (0) = 0 có nghĩa là, nếu $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, thì hai tín hiệu được cho là trực giao.
Đối với tín hiệu nguồn nếu $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ thì hai tín hiệu được cho là trực giao.
Hàm tương quan chéo tương ứng với phép nhân phổ của một tín hiệu với phổ liên hợp phức của tín hiệu khác. I E
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
Đây còn được gọi là định lý tương quan.
Định lý Parseval
Định lý Parseval cho các tín hiệu năng lượng phát biểu rằng tổng năng lượng trong một tín hiệu có thể thu được bằng phổ của tín hiệu là
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $
Note: Nếu một tín hiệu có năng lượng E thì phiên bản tỷ lệ thời gian của tín hiệu đó x (at) có năng lượng E / a.