Loạt Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier,một nhà toán học và một nhà vật lý người Pháp; sinh ra ở Auxerre, Pháp. Ông khởi tạo chuỗi Fourier, các phép biến đổi Fourier và ứng dụng của chúng cho các vấn đề về truyền nhiệt và dao động. Chuỗi Fourier, các phép biến đổi Fourier và Định luật Fourier được đặt tên để vinh danh ông.
loạt Fourier
Để biểu diễn bất kỳ tín hiệu tuần hoàn nào x (t), Fourier đã phát triển một biểu thức gọi là chuỗi Fourier. Điều này là về tổng vô hạn của sin và cosine hoặc hàm mũ. Chuỗi Fourier sử dụng điều kiện trực giao.
Biểu diễn chuỗi Fourier của các tín hiệu định kỳ theo thời gian liên tục
Một tín hiệu được cho là tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện x (t) = x (t + T) hoặc x (n) = x (n + N).
Trong đó T = khoảng thời gian cơ bản,
ω 0 = tần số cơ bản = 2π / T
Có hai tín hiệu tuần hoàn cơ bản:
$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (hình sin) &
$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (hàm mũ phức)
Hai tín hiệu này định kỳ với chu kỳ $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.
Một tập hợp các hàm mũ phức tạp liên quan đến điều hòa có thể được biểu diễn dưới dạng {$ \ phi_k (t) $}
$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$
Tất cả các tín hiệu này đều tuần hoàn với chu kỳ T
Theo xấp xỉ không gian tín hiệu trực giao của một hàm x (t) với n, các hàm trực giao lẫn nhau được cho bởi
$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$
$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$
Trong đó $ a_k $ = Hệ số Fourier = Hệ số xấp xỉ.
Tín hiệu x (t) này cũng tuần hoàn với chu kỳ T.
Phương trình 2 biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x (t).
Số hạng k = 0 là hằng số.
Thuật ngữ $ k = \ PM1 $ có cơ bản tần số $ \ omega_0 $, được gọi là 1 st giai điệu.
Thuật ngữ $ k = \ pm2 $ có tần số cơ bản $ 2 \ omega_0 $, được gọi là sóng hài bậc 2 , v.v.
Thuật ngữ $ k = ± n $ có tần số cơ bản $ n \ omega0 $, được gọi là sóng hài thứ n .
Phát sinh hệ số Fourier
Chúng ta biết rằng $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $
Nhân $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ cho cả hai bên. Sau đó
$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$
Xét tích phân cả hai vế.
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$
theo công thức của Euler,
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$
Do đó trong phương trình 2, tích phân bằng 0 với mọi giá trị của k ngoại trừ k = n. Đặt k = n vào phương trình 2.
$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$
$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Thay n bởi k.
$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$
$$ \ do đó x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$
$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$