Phân tích tín hiệu
Tương tự giữa Vectơ và Tín hiệu
Có một sự tương đồng hoàn hảo giữa vectơ và tín hiệu.
Véc tơ
Một vectơ chứa độ lớn và hướng. Tên của vectơ được biểu thị bằng kiểu mặt đậm và độ lớn của chúng được biểu thị bằng kiểu mặt sáng.
Example:V là vectơ có độ lớn V. Xét hai vectơ V 1 và V 2 như sơ đồ sau. Gọi thành phần của V 1 cùng với V 2 là C 12 V 2 . Thành phần của vectơ V 1 cùng với vectơ V 2 có thể nhận được bằng cách lấy vuông góc từ điểm cuối của V 1 đến vectơ V 2 như trong sơ đồ:
Vectơ V 1 có thể được biểu diễn dưới dạng vectơ V 2
V 1 = C 12 V 2 + V e
Trong đó Ve là vector lỗi.
Nhưng đây không phải là cách duy nhất để biểu diễn vectơ V 1 theo V 2 . Các khả năng thay thế là:
V 1 = C 1 V 2 + V e1
V 2 = C 2 V 2 + V e2
Tín hiệu lỗi là tối thiểu đối với giá trị thành phần lớn. Nếu C 12 = 0, thì hai tín hiệu được cho là trực giao.
Tích số chấm của hai vectơ
V 1 . V 2 = V 1 .V 2 cosθ
θ = Góc giữa V1 và V2
V 1 . V 2 = V 2 .V 1
Các thành phần của V 1 alog n V 2 = V 1 Cos θ = $ V1.V2 \ trên V2 $
Từ sơ đồ, các thành phần của V 1 alog n V 2 = C 12 V 2
$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2 $$
$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ hơn V_2} $$
Tín hiệu
Khái niệm trực giao có thể được áp dụng cho các tín hiệu. Ta xét hai tín hiệu f 1 (t) và f 2 (t). Tương tự như vectơ, bạn có thể tính gần đúng f 1 (t) theo f 2 (t) là
f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) cho (t 1 <t <t 2 )
$ \ Mũi tên phải $ f e (t) = f 1 (t) - C 12 f 2 (t)
Một cách có thể để giảm thiểu sai số là tích phân trong khoảng thời gian t 1 đến t 2 .
$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$
$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt $$
Tuy nhiên, bước này cũng không làm giảm lỗi đến mức đáng kể. Điều này có thể được sửa chữa bằng cách lấy bình phương của hàm lỗi.
$ \ varepsilon = {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $
$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt $
Trong đó ε là giá trị bình phương trung bình của tín hiệu lỗi. Giá trị C 12 giảm thiểu lỗi, bạn cần tính $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $
$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $
$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $
Đạo hàm của các số hạng không có số hạng C12 bằng không.
$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $
Nếu $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ thành phần bằng 0, khi đó hai tín hiệu được cho là trực giao.
Đặt C 12 = 0 để có điều kiện cho trực giao.
0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$
Không gian vector trực giao
Tập hợp đầy đủ các vectơ trực giao được gọi là không gian vectơ trực giao. Hãy xem xét một không gian vectơ ba chiều như hình dưới đây:
Xét một vectơ A tại một điểm (X 1 , Y 1 , Z 1 ). Xét ba vectơ đơn vị (V X , V Y , V Z ) theo phương của trục X, Y, Z lần lượt. Vì các vectơ đơn vị này trực giao với nhau nên nó thỏa mãn điều đó
$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$
$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$
Bạn có thể viết các điều kiện trên là
$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$
Vectơ A có thể được biểu diễn theo các thành phần và vectơ đơn vị của nó như
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $
Bất kỳ vectơ nào trong không gian ba chiều này chỉ có thể được biểu diễn dưới dạng ba vectơ đơn vị này.
Nếu bạn coi không gian n chiều, thì bất kỳ vectơ A nào trong không gian đó có thể được biểu diễn dưới dạng
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $
Vì độ lớn của vectơ đơn vị là thống nhất đối với bất kỳ vectơ A nào
Thành phần của A dọc theo trục x = AV X
Thành phần của A dọc theo trục Y = AV Y
Thành phần của A dọc theo trục Z = AV Z
Tương tự, đối với không gian n chiều, thành phần của A dọc theo trục G nào đó
$ = A.VG ............... (3) $
Thay phương trình 2 vào phương trình 3.
$ \ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $
$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $
$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {kể từ} V_G V_G = 1 $
$ If V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {ie} V_G V_G = k $
$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $
$ G_1 = {(AV_G) \ trên K} $
Không gian tín hiệu trực giao
Ta xét tập hợp n hàm số trực giao đồng biến x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 . Vì các hàm này trực giao với nhau nên hai tín hiệu x j (t), x k (t) bất kỳ phải thỏa mãn điều kiện trực giao. I E
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {where} \, j \ neq k $$
$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$
Cho một hàm f (t), nó có thể được xấp xỉ với không gian tín hiệu trực giao này bằng cách thêm các thành phần dọc theo các tín hiệu trực giao lẫn nhau, tức là
$ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $
$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $
$ \, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $
Lỗi sqaure trung bình $ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $
$$ = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$
Thành phần giảm thiểu sai số bình phương trung bình có thể được tìm thấy bằng
$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$
Chúng ta hãy xem xét $ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $
$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$
Tất cả các số hạng không chứa C k đều bằng không. tức là trong tổng kết, r = k số hạng vẫn còn và tất cả các số hạng khác bằng không.
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$
$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$
$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$
Lỗi bình phương trung bình
Trung bình bình phương của hàm lỗi f e (t) được gọi là sai số bình phương trung bình. Nó được ký hiệu là ε (epsilon).
.$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $
Bạn biết rằng $ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 K_r $
$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \, \ do đó \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $
Phương trình trên được sử dụng để đánh giá sai số bình phương trung bình.
Đóng và hoàn chỉnh các hàm trực giao
Ta xét tập hợp n hàm số trực giao đồng biến x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 . Đây được gọi là tập đóng và hoàn chỉnh khi không tồn tại hàm f (t) thỏa mãn điều kiện $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $
Nếu hàm này thỏa mãn phương trình $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $ thì f (t) được cho là trực giao với mỗi và mọi hàm của tập trực giao. Tập hợp này không đầy đủ nếu không có f (t). Nó trở thành tập đóng và hoàn chỉnh khi có f (t).
f (t) có thể được tính gần đúng với bộ trực giao này bằng cách thêm các thành phần dọc theo các tín hiệu trực giao lẫn nhau, tức là
$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$
Nếu chuỗi vô hạn $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $ hội tụ đến f (t) thì sai số bình phương trung bình bằng không.
Tính trực giao trong các hàm phức tạp
Nếu f 1 (t) và f 2 (t) là hai hàm phức, thì f 1 (t) có thể được biểu diễn theo f 2 (t) là
$ f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, $ ..với lỗi không đáng kể
Trong đó $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}} $
Trong đó $ f_2 ^ * (t) $ = liên hợp phức của f 2 (t).
Nếu f 1 (t) và f 2 (t) trực giao thì C 12 = 0
$$ {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0 $$
Phương trình trên biểu diễn điều kiện trực giao trong hàm phức.