Các loại dòng Fourier
Chuỗi Fourier lượng giác (TFS)
$ \ sin n \ omega_0 t $ và $ \ sin m \ omega_0 t $ trực giao trong khoảng $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $. Vì vậy, $ \ sin \ omega_0 t, \, \ sin 2 \ omega_0 t $ tạo thành một tập trực giao. Tập hợp này không hoàn chỉnh nếu không có {$ \ cos n \ omega_0 t $} vì tập hợp cosin này cũng trực giao với tập sin. Vì vậy, để hoàn thành tập hợp này, chúng ta phải bao gồm cả thuật ngữ cosine và sin. Bây giờ, tập hợp trực giao hoàn chỉnh chứa tất cả các số hạng sin và sin, tức là {$ \ sin n \ omega_0 t, \, \ cos n \ omega_0 t $} trong đó n = 0, 1, 2 ...
$ \ do đó $ Bất kỳ hàm x (t) nào trong khoảng $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $ có thể được biểu diễn dưới dạng
$$ x (t) = a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \ cos 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2 \ omega_0 t + ... + a_n \ cos n \ omega_0 t + ... $$
$$ + b_0 \ sin 0 \ omega_0 t + b_1 \ sin 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin n \ omega_0 t + ... $$
$$ = a_0 + a_1 \ cos 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos 2 \ omega_0 t + ... + a_n \ cos n \ omega_0 t + ... $$
$$ + b_1 \ sin 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin n \ omega_0 t + ... $$
$$ \ do đó x (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_0 t + b_n \ sin n \ omega_0 t) \ quad (t_0 <t <t_0 + T) $$
Phương trình trên biểu diễn chuỗi Fourier lượng giác của x (t).
$$ \ text {Where} \, a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · 1 dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) dt $$
$$ a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$
$$ b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$
$$ \ text {Here} \, \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = {T \ hơn 2} $$
$$ \ do đó a_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos n \ omega_0 t \, dt $$
$$ b_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt $$
Chuỗi Fourier theo cấp số nhân (EFS)
Hãy xem xét một tập hợp các hàm mũ phức tạp $ \ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \} (n = 0, \ pm1, \ pm2 ...) $ trực giao trong khoảng $ (t_0, t_0 + T) $. Trong đó $ T = {2 \ pi \ over \ omega_0} $. Đây là một tập hợp hoàn chỉnh nên có thể biểu diễn một hàm f (t) bất kỳ như hình bên dưới
$ f (t) = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $
$ \ quad \ quad \, \, F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $
$$ \ do đó f (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad (t_0 <t <t_0 + T) ..... .. (1) $$
Phương trình 1 biểu diễn chuỗi Fourier hàm mũ của tín hiệu f (t) trong khoảng thời gian (t 0 , t 0 + T). Hệ số Fourier được cho là
$$ F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t} (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt} $$
$$ \ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {- jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \, dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ do đó F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Mối quan hệ giữa chuỗi Fourier lượng giác và lũy thừa
Hãy xem xét một tín hiệu tuần hoàn x (t), các biểu diễn TFS & EFS tương ứng được đưa ra bên dưới
$ x (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_0 t + b_n \ sin n \ omega_0 t) ... ... (1) $
$ x (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} $
$ \ quad \, \, \, = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $
$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $
$ = F_0 + F_1 (\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t) + F_2 (cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F_n (\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t) + ... + F _ {- 1} (\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t) + F _ {- 2} (\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F _ {- n} (\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t) + ... $
$ = F_0 + (F_1 + F _ {- 1}) \ cos \ omega_0 t + (F_2 + F _ {- 2}) \ cos2 \ omega_0 t + ... + j (F_1 - F _ {- 1}) \ sin \ omega_0 t + j (F_2 - F _ {- 2}) \ sin2 \ omega_0 t + ... $
$ \ do đó x (t) = F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ((F_n + F _ {- n}) \ cos n \ omega_0 t + j (F_n-F _ {- n}) \ sin n \ omega_0 t) ... ... (2) $
So sánh phương trình 1 và 2.
$ a_0 = F_0 $
$ a_n = F_n + F _ {- n} $
$ b_n = j (F_n-F _ {- n}) $
Tương tự,
$ F_n = \ frac12 (a_n - jb_n) $
$ F _ {- n} = \ frac12 (a_n + jb_n) $