Biến đổi Laplace (LT)

Biến đổi Fourier phức tạp còn được gọi là Biến đổi Laplace Song phương. Điều này được sử dụng để giải các phương trình vi phân. Hãy xem xét một hệ thống LTI được thoát ra bởi một tín hiệu hàm mũ phức có dạng x (t) = Ge ^st .

Trong đó s = bất kỳ số phức nào = $\sigma + j\omega$,

σ = real of s, và

ω = ảo của s

Đáp ứng của LTI có thể thu được bằng tích chập của đầu vào với đáp ứng xung của nó, tức là

$ y(t) = x(t) \times h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, x (t-\tau)d\tau $

$= \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, Ge^{s(t-\tau)}d\tau $

$= Ge^{st}. \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, e^{(-s \tau)}d\tau $

$ y(t) = Ge^{st}.H(S) = x(t).H(S)$

Trong đó H (S) = Biến đổi Laplace của $h(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} h (\tau) e^{-s\tau} d\tau $

Tương tự, biến đổi Laplace của $x(t) = X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt\,...\,...(1)$

Mối quan hệ giữa các phép biến đổi Laplace và Fourier

Biến đổi Laplace của $x(t) = X(S) =\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$

Thay s = σ + jω vào phương trình trên.

$→ X(\sigma+j\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\,x (t) e^{-(\sigma+j\omega)t} dt$

$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ x (t) e^{-\sigma t}] e^{-j\omega t} dt $

$\therefore X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]\,...\,...(2)$

$X(S) = X(\omega) \quad\quad for\,\, s= j\omega$

Biến đổi Laplace ngược

Bạn có biết rằng $X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]$

$\to x (t) e^{-\sigma t} = F.T^{-1} [X(S)] = F.T^{-1} [X(\sigma+j\omega)]$

$= {1\over 2}\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

$ x (t) = e^{\sigma t} {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega $

$= {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{(\sigma+j\omega)t} d\omega \,...\,...(3)$

Đây, $\sigma+j\omega = s$

$jdω = ds → dω = ds/j$

$ \therefore x (t) = {1 \over 2\pi j} \int_{-\infty}^{\infty} X(s) e^{st} ds\,...\,...(4) $

Phương trình 1 và 4 biểu diễn phép biến đổi Laplace và Phép biến đổi Laplace ngược của tín hiệu x (t).

Điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace

Các điều kiện của Dirichlet được sử dụng để xác định sự tồn tại của phép biến đổi Laplace. I E

Hàm f (t) có hữu hạn số cực đại và cực tiểu.
Phải có hữu hạn số điểm gián đoạn trong tín hiệu f (t), trong khoảng thời gian nhất định.
Nó phải hoàn toàn có thể tích hợp được trong khoảng thời gian nhất định. I E

$ \int_{-\infty}^{\infty} |\,f(t)|\, dt \lt \infty $

Định lý giá trị ban đầu và cuối cùng

Nếu biết biến đổi Laplace của một hàm chưa biết x (t) thì có thể xác định giá trị ban đầu và giá trị cuối cùng của tín hiệu chưa biết đó tức là x (t) tại t = 0 ⁺ và t = ∞.