Thuộc tính biến đổi Fourier

Dưới đây là các thuộc tính của Fourier Transform:

Thuộc tính tuyến tính

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính tuyến tính tuyên bố rằng

$ ax (t) + by (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X (\ omega) + b Y (\ omega) $

Thuộc tính dịch chuyển thời gian

$ \ text {If} \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính Dịch chuyển thời gian nói rằng

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- j \ omega t_0} X (\ omega) $

Thuộc tính thay đổi tần số

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính dịch chuyển tần số nói rằng

$ e ^ {j \ omega_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega - \ omega_0) $

Thuộc tính đảo ngược thời gian

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính Đảo ngược thời gian nói rằng

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (- \ omega) $

Thuộc tính tỷ lệ thời gian

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính Tỷ lệ thời gian nói rằng

$ x (at) {1 \ over | \, a \, |} X {\ omega \ over a} $

Thuộc tính phân biệt và tích hợp

$ If \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính khác biệt tuyên bố rằng

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega. X (\ omega) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} (j \ omega) ^ n. X (\ omega) $

và thuộc tính tích hợp tuyên bố rằng

$ \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X (\ omega) $

$ \ iiint ... \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over (j \ omega) ^ n} X (\ omega) $

Thuộc tính nhân và chuyển đổi

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Sau đó, thuộc tính nhân nói rằng

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) * Y (\ omega) $

và thuộc tính tích chập nói rằng

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X (\ omega) .Y (\ omega) $