Biến đổi Fourier

Hạn chế chính của chuỗi Fourier là, nó chỉ áp dụng cho các tín hiệu tuần hoàn. Có một số tín hiệu được tạo ra tự nhiên như không theo chu kỳ hoặc không theo chu kỳ, mà chúng ta không thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier. Để khắc phục nhược điểm này, Fourier đã phát triển một mô hình toán học để biến đổi tín hiệu giữa miền thời gian (hoặc không gian) sang miền tần số và ngược lại, được gọi là 'biến đổi Fourier'.

Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật như phân tích hệ thống LTI, RADAR, thiên văn học, xử lý tín hiệu v.v.

Suy ra biến đổi Fourier từ chuỗi Fourier

Xét một tín hiệu tuần hoàn f (t) với chu kỳ T. Biểu diễn chuỗi Fourier phức của f (t) được cho là

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

Đặt $ {1 \ over T_0} = \ Delta f $, thì phương trình 1 trở thành

$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

nhưng bạn biết điều đó

$ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

Thay thế trong phương trình 2.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

Cho $ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

Trong giới hạn $ T \ to \ infty, \ Delta f $ tiến tới vi phân $ df, k \ Delta f $ trở thành một biến liên tục $ f $ và tổng trở thành tích hợp

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Where} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

Biến đổi Fourier của các chức năng cơ bản

Hãy cùng chúng tôi xem qua Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản:

FT của hàm GATE

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ hơn 2}) $$

FT của chức năng xung

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ do đó \ delta (\ omega) = 1 $

FT của Chức năng Bước Đơn vị:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $

FT của lũy thừa

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $

FT của hàm Signum

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

Điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier

Bất kỳ hàm f (t) nào cũng có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng biến đổi Fourier chỉ khi hàm thỏa mãn các điều kiện của Dirichlet. I E

• Hàm f (t) có hữu hạn số cực đại và cực tiểu.

• Phải có số điểm gián đoạn hữu hạn trong tín hiệu f (t), trong khoảng thời gian nhất định.

• Nó phải hoàn toàn có thể tích hợp được trong khoảng thời gian nhất định, tức là

  $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT)

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) hoặc biến đổi Fourier của một chuỗi thời gian rời rạc x [n] là một biểu diễn của chuỗi dưới dạng chuỗi hàm mũ phức tạp $ e ^ {j \ omega n} $.

Dãy DTFT x [n] được cho bởi

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

Ở đây, X (ω) là một hàm phức của biến tần số thực ω và nó có thể được viết dưới dạng

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

Trong đó X _re (ω), X _img (ω) lần lượt là phần thực và phần ảo của X (ω).

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

Và X (ω) cũng có thể được biểu diễn dưới dạng $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | e ^ {j \ theta (ω)} $

Trong đó $ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $ được gọi là phổ độ lớn và phổ pha của X (ω).

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc nghịch đảo

$$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

Điều kiện hội tụ:

Dãy vô hạn trong phương trình 1 có thể là hội tụ hoặc có thể không. x (n) là tổng hoàn toàn.

$$ \ text {when} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Một chuỗi có thể tổng hợp tuyệt đối luôn có một năng lượng hữu hạn nhưng một chuỗi năng lượng hữu hạn không nhất thiết phải là một chuỗi hoàn toàn có thể tổng hợp được.