Hilbert Transform

Biến đổi Hilbert của tín hiệu x (t) được định nghĩa là biến đổi trong đó góc pha của tất cả các thành phần của tín hiệu được dịch chuyển bởi $ \ pm \ text {90} ^ o $.

Biến đổi Hilbert của x (t) được biểu diễn bằng $ \ hat {x} (t) $, và nó được cho bởi

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

Phép biến đổi Hilbert nghịch đảo được cho bởi

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

x (t), $ \ hat {x} $ (t) được gọi là một cặp biến đổi Hilbert.

Các thuộc tính của Biến đổi Hilbert

Tín hiệu x (t) và biến đổi Hilbert của nó $ \ hat {x} $ (t) có

• Cùng biên độ phổ.

• Hàm tự tương quan cũng vậy.

• Mật độ quang phổ năng lượng là như nhau đối với cả x (t) và $ \ hat {x} $ (t).

• x (t) và $ \ hat {x} $ (t) là trực giao.

• Biến đổi Hilbert của $ \ hat {x} $ (t) là -x (t)

• Nếu biến đổi Fourier tồn tại thì biến đổi Hilbert cũng tồn tại đối với tín hiệu năng lượng và công suất.