Định lý lấy mẫu tín hiệu
Statement:Tín hiệu thời gian liên tục có thể được biểu diễn trong các mẫu của nó và có thể được khôi phục trở lại khi tần số lấy mẫu f s lớn hơn hoặc bằng hai lần thành phần tần số cao nhất của tín hiệu bản tin. I E
$$ f_s \geq 2 f_m. $$
Proof:Xét một tín hiệu thời gian liên tục x (t). Phổ của x (t) là một dải giới hạn ở f m Hz tức là phổ của x (t) bằng 0 đối với | ω |> ω m .
Có thể lấy mẫu tín hiệu đầu vào x (t) bằng cách nhân x (t) với một đường truyền xung δ (t) của chu kỳ T s . Đầu ra của bộ nhân là một tín hiệu rời rạc được gọi là tín hiệu lấy mẫu, được biểu diễn bằng y (t) trong các sơ đồ sau:
Ở đây, bạn có thể quan sát thấy rằng tín hiệu được lấy mẫu có chu kỳ xung. Quá trình lấy mẫu có thể được giải thích bằng biểu thức toán học sau:
$ \text{Sampled signal}\, y(t) = x(t) . \delta(t) \,\,...\,...(1) $
Biểu diễn chuỗi Fourier lượng giác của $\delta$(t) được đưa ra bởi
$ \delta(t)= a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega_s t + b_n \sin n\omega_s t )\,\,...\,...(2) $
Ở đâu $ a_0 = {1\over T_s} \int_{-T \over 2}^{ T \over 2} \delta (t)dt = {1\over T_s} \delta(0) = {1\over T_s} $
$ a_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta (t) \cos n\omega_s\, dt = { 2 \over T_2} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = {2 \over T}$
$b_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta(t) \sin n\omega_s t\, dt = {2 \over T_s} \delta(0) \sin n\omega_s 0 = 0 $
Thay các giá trị trên vào phương trình 2.
$\therefore\, \delta(t)= {1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty} ( { 2 \over T_s} \cos n\omega_s t+0)$
Thay δ (t) vào phương trình 1.
$\to y(t) = x(t) . \delta(t) $
$ = x(t) [{1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty}({2 \over T_s} \cos n\omega_s t) ] $
$ = {1 \over T_s} [x(t) + 2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] $
$ y(t) = {1 \over T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t.x(t) + 2 \cos 2\omega_st.x(t) + 2 \cos 3\omega_s t.x(t) \,...\, ...\,] $
Lấy biến đổi Fourier về cả hai phía.
$Y(\omega) = {1 \over T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...] $
$\therefore\,\, Y(\omega) = {1\over T_s} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad where \,\,n= 0,\pm1,\pm2,... $
Để tái tạo lại x (t), bạn phải khôi phục phổ tín hiệu đầu vào X (ω) từ phổ tín hiệu lấy mẫu Y (ω), điều này có thể thực hiện được khi không có sự chồng chéo giữa các chu kỳ của Y (ω).
Khả năng của phổ tần số được lấy mẫu với các điều kiện khác nhau được cho bởi các sơ đồ sau:
Hiệu ứng răng cưa
Vùng chồng chéo trong trường hợp đang lấy mẫu đại diện cho hiệu ứng răng cưa, có thể được loại bỏ bằng
xét f s > 2f m
Bằng cách sử dụng bộ lọc khử răng cưa.