Thuộc tính Z-Transforms
Z-Transform có các thuộc tính sau:
Thuộc tính tuyến tính
Nếu $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
và $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$
Sau đó, thuộc tính tuyến tính tuyên bố rằng
$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$
Thuộc tính dịch chuyển thời gian
Nếu $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
Sau đó, thuộc tính Dịch chuyển thời gian nói rằng
$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$
Phép nhân theo thuộc tính chuỗi số mũ
Nếu $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
Sau đó, phép nhân với một thuộc tính dãy số mũ nói rằng
$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$
Thuộc tính đảo ngược thời gian
Nếu $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
Sau đó, thuộc tính đảo ngược thời gian nói rằng
$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$
Sự khác biệt trong Z-Domain HOẶC phép nhân với n Thuộc tính
Nếu $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
Sau đó nhân với n hoặc phân biệt trong thuộc tính miền z cho biết
$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $
Thuộc tính Convolution
Nếu $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
và $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$
Sau đó, thuộc tính tích chập nói rằng
$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$
Thuộc tính tương quan
Nếu $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$
và $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$
Sau đó, thuộc tính tương quan tuyên bố rằng
$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$
Giá trị ban đầu và Định lý giá trị cuối cùng
Định lý giá trị ban đầu và giá trị cuối cùng của phép biến đổi z được định nghĩa cho tín hiệu nhân quả.
Định lý giá trị ban đầu
Đối với tín hiệu nhân quả x (n), định lý giá trị ban đầu phát biểu rằng
$ x (0) = \lim_{z \to \infty }X(z) $
Điều này được sử dụng để tìm giá trị ban đầu của tín hiệu mà không cần thực hiện phép biến đổi z ngược
Định lý giá trị cuối cùng
Đối với tín hiệu nhân quả x (n), định lý giá trị cuối cùng phát biểu rằng
$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} [z-1] X(z) $
Điều này được sử dụng để tìm giá trị cuối cùng của tín hiệu mà không cần thực hiện phép biến đổi z ngược.
Vùng hội tụ (ROC) của Z-Transform
Phạm vi biến thiên của z mà biến đổi z hội tụ được gọi là vùng hội tụ của biến đổi z.
Các thuộc tính của ROC của Z-Transforms
ROC của phép biến đổi z được biểu thị bằng đường tròn trong mặt phẳng z.
ROC không chứa bất kỳ cực nào.
Nếu x (n) là một chuỗi nhân quả có thời gian hữu hạn hoặc chuỗi phía bên phải, thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ tại z = 0.
Nếu x (n) là dãy phản nhân quả có thời hạn hữu hạn hoặc dãy bên trái, thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ tại z = ∞.
Nếu x (n) là một chuỗi nhân quả có thời gian vô hạn thì ROC là ngoại tiếp của đường tròn có bán kính aie | z | > a.
Nếu x (n) là dãy phản nhân quả có thời gian vô hạn, ROC là phần trong của đường tròn có bán kính aie | z | <a.
Nếu x (n) là dãy hai mặt có thời lượng hữu hạn, thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ tại z = 0 & z = ∞.
Khái niệm ROC có thể được giải thích bằng ví dụ sau:
Example 1: Tìm biến đổi z và ROC của $a^n u[n] + a^{-}nu[-n-1]$
$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$
$$ ROC: |z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$
Cốt truyện của ROC có hai điều kiện là a> 1 và a <1, vì bạn chưa biết a.
Trong trường hợp này, không có ROC kết hợp.
Ở đây, sự kết hợp của ROC là từ $a \lt |z| \lt {1 \over a}$
Do đó đối với bài toán này, phép biến đổi z có thể thực hiện được khi a <1.
Nhân quả và tính ổn định
Điều kiện nhân quả đối với hệ thống LTI thời gian rời rạc như sau:
Hệ thống LTI thời gian rời rạc có tính nhân quả khi
ROC nằm ngoài cực ngoài cùng.
Trong hàm truyền H [Z], bậc của tử số không được lớn hơn bậc của mẫu số.
Điều kiện ổn định cho các hệ thống LTI thời gian rời rạc
Hệ thống LTI thời gian rời rạc ổn định khi
hàm hệ thống của nó H [Z] bao gồm đường tròn đơn vị | z | = 1.
tất cả các cực của hàm truyền nằm bên trong vòng tròn đơn vị | z | = 1.
Biến đổi Z của các tín hiệu cơ bản
| x (t) | X [Z] |
|---|---|
| $\delta$ | 1 |
| $u(n)$ | ${Z\over Z-1}$ |
| $u(-n-1)$ | $ -{Z\over Z-1}$ |
| $\delta(n-m)$ | $z^{-m}$ |
| $a^n u[n]$ | ${Z \over Z-a}$ |
| $a^n u[-n-1]$ | $- {Z \over Z-a}$ |
| $n\,a^n u[n]$ | ${aZ \over |Z-a|^2}$ |
| $n\,a^n u[-n-1] $ | $- {aZ \over |Z-a|^2}$ |
| $a^n \cos \omega n u[n] $ | ${Z^2-aZ \cos \omega \over Z^2-2aZ \cos \omega +a^2}$ |
| $a^n \sin \omega n u[n] $ | $ {aZ \sin \omega \over Z^2 -2aZ \cos \omega +a^2 } $ |