Biến đổi Z (ZT)

Phân tích hệ thống LTI thời gian liên tục có thể được thực hiện bằng cách sử dụng biến đổi z. Nó là một công cụ toán học mạnh mẽ để chuyển đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số.

Biến đổi z song phương (hai mặt) của tín hiệu thời gian rời rạc x (n) được cho là

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

Phép biến đổi z đơn phương (một phía) của tín hiệu thời gian rời rạc x (n) được cho là

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

Biến đổi Z có thể tồn tại đối với một số tín hiệu mà Biến đổi Fourier Thời gian Rời rạc (DTFT) không tồn tại.

Khái niệm về Z-Transform và Inverse Z-Transform

Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc x (n) có thể được biểu diễn bằng X (Z) và nó được định nghĩa là

$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $

Nếu $ Z = re ^ {j \ omega} $ thì phương trình 1 trở thành

$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $

$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $

Phương trình trên biểu diễn mối quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z.

$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $

Biến đổi Z ngược

$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $

$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $

$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $

Thay thế $ re ^ {j \ omega} = z $.

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $

Thay thế trong phương trình 3.

$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $