Cosmología - Edad del Universo
Como se discutió en los capítulos anteriores, la evolución temporal del parámetro de Hubble viene dada por:
$$ H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Dónde z es el corrimiento al rojo y E(Z) es -
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega ^ {\ cuña, 0} $$
Si la expansión del universo es constante, entonces la verdadera edad del universo se da de la siguiente manera:
$$ t_H = \ frac {1} {H_0} $$
Si es el universo dominado por la materia, es decir, el universo de Einstein Desitter, entonces la verdadera edad del universo está dada por:
$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$
La escala y el desplazamiento al rojo se definen mediante:
$$ a = \ frac {a_0} {1 + z} $$
La edad del universo en términos del parámetro cosmológico se deriva de la siguiente manera.
El parámetro de Hubble viene dado por:
$$ H = \ frac {\ frac {da} {dt}} {a} $$
Diferenciando, obtenemos -
$$ da = \ frac {-dz} {(1 + z) ^ 2} $$
Dónde a0 = 1 (valor actual del factor de escala)
$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {-1} {(1 + z) ^ 2} $$
$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} { \ mathrm {d} t} $$
$$ H = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t} \ frac {1 + z} {1} $$
$$ \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {-1} {1 + z} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} \ frac {1} { 1} $$
$$ H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
$$ dt = \ frac {-dz} {H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} (1 + z)} $$
Si queremos encontrar la edad del universo en cualquier corrimiento al rojo dado ‘z’ entonces -
$$ t (z) = \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E (z) ^ {\ frac {1} {2}} (1+ z)} dz $$
Dónde k es el parámetro de densidad de curvatura y -
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ cuña, 0} $$
Para calcular la edad actual del universo, tome z1 = 0.
$$ t (z = 0) = t_ {edad} = t_0 = \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E (z) ^ {\ frac { 1} {2}} (1 + z)} dz $$
Para el modelo de Desitter de Einstein, es decir, $ \ Omega_m = 1 $, $ \ Omega_ {rad} = 0 $, $ \ Omega_k = 0 $, $ \ Omega_ \ wedge = 0 $, la ecuación para la edad del universo se convierte en -
$$ t_ {edad} = \ frac {1} {H_0} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(1 + z) ^ {\ frac {5} {2}}} dz $ PS
Después de resolver la integral, obtenemos:
$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$
El cielo nocturno es como un Cosmic Time Machine.Siempre que observamos un planeta, estrella o galaxia distante, lo estamos viendo como era hace horas, siglos o incluso milenios. Esto se debe a que la luz viaja a una velocidad finita (la velocidad de la luz) y dadas las grandes distancias en el Universo, no vemos los objetos como son ahora, sino como eran cuando se emitió la luz. El tiempo transcurrido entre - cuando detectamos la luz aquí en la Tierra y cuando fue originalmente emitida por la fuente, se conoce comoLookback Time (tL(z1)).
Entonces, el tiempo de retroceso viene dado por:
$$ t_1 (z_1) = t_0-t (z_1) $$
El tiempo de retrospectiva del Universo Desitter de Einstein es:
$$ t_L (z) = \ frac {2} {3H_0} \ left [1- \ frac {1} {(1 + z) ^ {\ frac {3} {2}}} \ right] $$
Puntos para recordar
Siempre que observamos un planeta, estrella o galaxia distante, lo estamos viendo como era hace horas, siglos o incluso milenios.
El tiempo transcurrido entre el momento en que detectamos la luz aquí en la Tierra y el momento en que fue emitida originalmente por la fuente se conoce como tiempo de retroceso.