Cosmología - Ecuación de fluidos
En este capítulo, discutiremos la ecuación de fluidos y cómo nos dice con respecto a la densidad del universo que cambia con el tiempo.
Estimación de ρ cy ρ en el universo presente
Para el universo presente -
$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {- 3} \ simeq 10 \: hidrógeno \: átomos \: m ^ {- 3} $$
Existe una amplia gama de densidades críticas en nuestro espacio exterior. Por ejemplo, para el medio intergaláctico $ \ rho_c $ es 1 átomo de hidrógeno $ m ^ {- 3} $, mientras que para las nubes moleculares es $ 10 ^ 6 $ átomos de hidrógeno $ m ^ {- 3} $.
Debemos medir $ \ rho_c $ considerando muestras adecuadas de espacio. Dentro de nuestra galaxia, el valor de $ \ rho_c $ es muy alto, pero nuestra galaxia no es representativa de todo el universo. Entonces, deberíamos salir al espacio donde se cumple el principio cosmológico, es decir, distancias ≈ 300 Mpc. Mirar 300 Mpc significa mirar mil millones de años atrás, pero sigue siendo el universo actual.
Se realizan encuestas como SDSS para determinar la densidad de materia real. Toman un volumen de 5 × 500 × 5 Mpc 3 , cuentan el número de galaxias y suman toda la luz proveniente de estas galaxias. Bajo el supuesto de que 1 L ≡ 1 M, es decir, 1 Luminosidad solar ≡ 1 Masa solar.
Hacemos una conversión de luz a masa y luego intentamos estimar el número de bariones en función de las partículas de materia visible presentes en ese volumen.
Por ejemplo,
$$ 1000L_ \ odot ≡ 1000M_ \ odot / m_p $$
Donde, m p = masa del protón.
Entonces obtenemos aproximadamente la densidad del número bariónico $ \ Omega b ∼ = 0.025 $. Esto implica $ \ rho b = 0.25% $ de $ \ rho_c $. Diferentes encuestas han arrojado un valor ligeramente diferente. Entonces, en el universo local, la densidad numérica de materia visible es mucho menor que la densidad crítica, lo que significa que vivimos en un universo abierto.
La masa con un factor de 10 no se incluye en estos estudios porque estos estudios tienen en cuenta la radiación electromagnética pero no la materia oscura. Dando, $ \ Omega_m = 0.3 - 0.4 $. Aún así concluye que vivimos en un universo abierto.
La materia oscura interactúa con la gravedad. Mucha materia oscura puede detener la expansión. Aún no hemos formalizado cómo cambia $ \ rho $ con el tiempo, para lo cual necesitamos otro conjunto de ecuaciones.
La termodinámica establece que:
$$ dQ = dU + dW $$
Para un sistema que crece en términos de tamaño, $ dW = P dV $. La expansión del universo se modela como adiabática, es decir, $ dQ = 0 $. Por lo tanto, el cambio de volumen debe ocurrir por el cambio en la energía interna dU.
Tomemos un cierto volumen de universo de unidad como radio variable, es decir, $ r_c = 1 $. Si $ \ rho $ es la densidad del material dentro de este volumen de espacio, entonces,
$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$
$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$
Dónde, Ues la densidad de energía. Descubramos el cambio en la energía interna con el tiempo a medida que el universo se expande.
$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$
De manera similar, el cambio de volumen con el tiempo viene dado por,
$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
Sustituyendo $ dU = −P dV $. Obtenemos,
$$ 4 \ pi a ^ 2 (c ^ 2 \ rho + P) \ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Esto se llama Fluid Equation. Nos dice cómo cambia la densidad del universo con el tiempo.
La presión cae a medida que el universo se expande. En cada instante la presión cambia, pero no hay diferencia de presión entre dos puntos en el volumen considerado, por lo que el gradiente de presión es cero. Solo los materiales relativistas imparten presión, la materia no tiene presión.
La Ecuación de Friedmann junto con la Ecuación de fluidos modela el universo.
Puntos para recordar
La materia oscura interactúa con la gravedad. Mucha materia oscura puede detener la expansión.
La ecuación fluida nos dice cómo cambia la densidad del universo con el tiempo.
La Ecuación de Friedmann junto con la Ecuación de fluidos modela el universo.
Solo los materiales relativistas imparten presión, la materia no tiene presión.