Cosmología - Parámetro de densidad y Hubble
En este capítulo, analizaremos los parámetros de densidad y Hubble.
Parámetro de Hubble
El parámetro de Hubble se define de la siguiente manera:
$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$
que mide la rapidez con que cambia el factor de escala. De manera más general, la evolución del factor de escala está determinada por la Ecuación de Friedmann.
$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
dónde, ∧ es una constante cosmológica.
Para un universo plano, k = 0, por lo tanto, la ecuación de Friedmann se convierte en -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Para un universo dominado por la materia, la densidad varía como:
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
y, para un universo dominado por la radiación, la densidad varía como:
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
Actualmente, vivimos en un universo dominado por la materia. Por lo tanto, considerando $ \ rho ≡ \ rho_m $, obtenemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
La constante cosmológica y la densidad de energía oscura están relacionadas de la siguiente manera:
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
De esto, obtenemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Además, la densidad crítica y la constante de Hubble están relacionadas de la siguiente manera:
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Flecha derecha \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
De esto, obtenemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Aquí, $ H (z) $ es el parámetro de Hubble dependiente del desplazamiento al rojo. Esto se puede modificar para incluir el parámetro de densidad de radiación $ \ Omega_ {rad} $ y el parámetro de densidad de curvatura $ \ Omega_k $. La ecuación modificada es -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ O, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ O, \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
dónde,
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ cuña, 0} $$
Esto muestra que el parámetro de Hubble varía con el tiempo.
Para el Einstein-de Sitter Universo, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Poniendo estos valores, obtenemos -
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
que muestra la evolución temporal del parámetro de Hubble para el universo de Einstein-de Sitter.
Parámetro de densidad
El parámetro de densidad, $ \ Omega $, se define como la relación entre la densidad real (u observada) ρ y la densidad crítica $ \ rho_c $. Para cualquier cantidad $ x $, el parámetro de densidad correspondiente, $ \ Omega_x $ se puede expresar matemáticamente como -
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
Para las diferentes cantidades consideradas, podemos definir los siguientes parámetros de densidad.
| S.No. | Cantidad | Parámetro de densidad |
|---|---|---|
| 1 | Bariones | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Materia (bariónica + oscura) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Energía oscura | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Radiación | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Donde los símbolos tienen sus significados habituales.
Puntos para recordar
La evolución del factor de escala está determinada por la Friedmann Equation.
H(z) es el parámetro de Hubble dependiente del desplazamiento al rojo.
los Hubble Parameter varía con el tiempo.
los Density Parameter se define como la relación entre la densidad real (u observada) y la densidad crítica.