Cosmología - Parámetro de densidad y Hubble

En este capítulo, analizaremos los parámetros de densidad y Hubble.

Parámetro de Hubble

El parámetro de Hubble se define de la siguiente manera:

$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

que mide la rapidez con que cambia el factor de escala. De manera más general, la evolución del factor de escala está determinada por la Ecuación de Friedmann.

$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

dónde, es una constante cosmológica.

Para un universo plano, k = 0, por lo tanto, la ecuación de Friedmann se convierte en -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

Para un universo dominado por la materia, la densidad varía como:

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

y, para un universo dominado por la radiación, la densidad varía como:

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

Actualmente, vivimos en un universo dominado por la materia. Por lo tanto, considerando $ \ rho ≡ \ rho_m $, obtenemos -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

La constante cosmológica y la densidad de energía oscura están relacionadas de la siguiente manera:

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

De esto, obtenemos -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

Además, la densidad crítica y la constante de Hubble están relacionadas de la siguiente manera:

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Flecha derecha \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

De esto, obtenemos -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Aquí, $ H (z) $ es el parámetro de Hubble dependiente del desplazamiento al rojo. Esto se puede modificar para incluir el parámetro de densidad de radiación $ \ Omega_ {rad} $ y el parámetro de densidad de curvatura $ \ Omega_k $. La ecuación modificada es -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ O, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ O, \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

dónde,

$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ cuña, 0} $$

Esto muestra que el parámetro de Hubble varía con el tiempo.

Para el Einstein-de Sitter Universo, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.

Poniendo estos valores, obtenemos -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

que muestra la evolución temporal del parámetro de Hubble para el universo de Einstein-de Sitter.

Parámetro de densidad

El parámetro de densidad, $ \ Omega $, se define como la relación entre la densidad real (u observada) ρ y la densidad crítica $ \ rho_c $. Para cualquier cantidad $ x $, el parámetro de densidad correspondiente, $ \ Omega_x $ se puede expresar matemáticamente como -

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

Para las diferentes cantidades consideradas, podemos definir los siguientes parámetros de densidad.

S.No. Cantidad Parámetro de densidad
1 Bariones

$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $

2 Materia (bariónica + oscura)

$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $

3 Energía oscura

$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $

4 Radiación

$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

Donde los símbolos tienen sus significados habituales.

Puntos para recordar

  • La evolución del factor de escala está determinada por la Friedmann Equation.

  • H(z) es el parámetro de Hubble dependiente del desplazamiento al rojo.

  • los Hubble Parameter varía con el tiempo.

  • los Density Parameter se define como la relación entre la densidad real (u observada) y la densidad crítica.