Cosmología - Universo dominado por la materia
En este capítulo, discutiremos las soluciones a las ecuaciones de Friedmann relacionadas con el universo dominado por la materia. En cosmología, debido a que estamos viendo todo a gran escala, los sistemas solares, las galaxias, todo pasa a ser como partículas de polvo (eso es lo que vemos con nuestros ojos), podemos llamarlo universo polvoriento o universo solo materia.
En el Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Podemos ver que hay un término de presión. Por un universo polvorientoP = 0, porque la densidad de energía de la materia será mayor que la presión de radiación, y la materia no se mueve con velocidad relativista.
Entonces, la ecuación fluida se convertirá en,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Flecha derecha \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Flecha derecha \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Flecha derecha \ rho a ^ 3 = \: constante $$
$$ \ Flecha derecha \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
No hay una intuición contraria en esta ecuación porque la densidad debe escalar como $ a ^ {- 3} $ porque el volumen aumenta como $ a ^ 3 $.
De la última relación, podemos decir que,
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Para el universo presente, a, que es igual a a0 debería ser 1. Entonces,
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
En un universo plano dominado por la materia, k = 0. Entonces, la ecuación de Friedmann se convertirá en,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Al resolver esta ecuación, obtendremos,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Esto significa que el universo seguirá aumentando a un ritmo decreciente. La siguiente imagen muestra la expansión de un universo polvoriento.
¿Cómo cambia ρ con el tiempo?
Eche un vistazo a la siguiente ecuación:
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Sabemos que el factor de escala cambia con el tiempo como $ t ^ {2/3} $. Entonces,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Diferenciándolo, obtendremos,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Sabemos que el Hubble Constant es,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Esta es la ecuación para Einstein-de sitter Universe. Si queremos calcular la edad actual del universo, entonces,
$$ t_0 = t_ {edad} = \ frac {2} {3H_0} $$
Después de poner el valor de $ H_0 $ para el universo actual, obtendremos el valor de la edad del universo como 9 Gyrs. Hay muchosGlobular Cluster en nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, que tienen edades más que eso.
Eso fue todo sobre el universo polvoriento. Ahora, si asume que el universo está dominado por la radiación y no por la materia, entonces la densidad de energía de la radiación es $ a ^ {- 4} $ en lugar de $ a ^ {- 3} $. Veremos más en el próximo capítulo.
Puntos para recordar
En cosmología, todo resulta ser como partículas de polvo, por lo tanto, lo llamamos universo polvoriento o universo solo materia.
Si asumimos que el universo está dominado por la radiación y no por la materia, entonces la densidad de energía de la radiación es $ a ^ {- 4} $ en lugar de $ a ^ {- 3} $.