Sirkuit Digital - Bentuk Kanonis & Standar
Kita akan mendapatkan empat suku produk Boolean dengan menggabungkan dua variabel x dan y dengan operasi logika AND. Istilah produk Boolean ini disebut sebagaimin terms atau standard product terms. Suku minnya adalah x'y ', x'y, xy' dan xy.
Demikian pula, kita akan mendapatkan empat suku Boolean dengan menggabungkan dua variabel x dan y dengan operasi OR logis. Istilah penjumlahan Boolean ini disebut sebagaiMax terms atau standard sum terms. Suku Max adalah x + y, x + y ', x' + y dan x '+ y'.
Tabel berikut menunjukkan representasi suku min dan suku MAX untuk 2 variabel.
| x | y | Istilah min | Ketentuan maks |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Jika variabel biner adalah '0', maka variabel tersebut direpresentasikan sebagai variabel pelengkap dalam istilah min dan sebagai variabel itu sendiri dalam istilah Max. Demikian pula, jika variabel biner adalah '1', maka ia direpresentasikan sebagai variabel pelengkap dalam istilah Max dan sebagai variabel itu sendiri dalam istilah min.
Dari tabel di atas, kita dapat dengan mudah melihat bahwa istilah min dan istilah Max saling melengkapi. Jika ada variabel 'n' Boolean, maka akan ada 2 n suku min dan 2 n suku Max.
Bentuk SoP dan PoS kanonis
Tabel kebenaran terdiri dari satu set input dan output. Jika ada variabel input 'n', maka akan ada 2 n kemungkinan kombinasi dengan nol dan satu. Jadi nilai setiap variabel keluaran tergantung dari kombinasi variabel masukan tersebut. Jadi, setiap variabel keluaran akan memiliki '1' untuk beberapa kombinasi variabel masukan dan '0' untuk beberapa kombinasi variabel masukan lainnya.
Oleh karena itu, kita dapat mengekspresikan setiap variabel keluaran dengan dua cara berikut.
- Bentuk SoP Kanonis
- Bentuk PoS kanonis
Bentuk SoP Kanonis
Bentuk SoP Kanonis berarti bentuk Jumlah Produk Kanonis. Dalam bentuk ini, setiap istilah produk mengandung semua literal. Jadi, istilah produk ini tidak lain adalah istilah min. Oleh karena itu, bentuk SoP kanonik juga disebut sebagaisum of min terms bentuk.
Pertama, identifikasi suku-suku min yang variabel keluarannya satu dan kemudian lakukan logika OR dari suku-suku min tersebut untuk mendapatkan ekspresi Boolean (fungsi) yang sesuai dengan variabel keluaran tersebut. Fungsi Boolean ini akan berupa penjumlahan suku-suku min.
Ikuti juga prosedur yang sama untuk variabel keluaran lainnya, jika ada lebih dari satu variabel keluaran.
Contoh
Simak berikut ini truth table.
| Masukan | Keluaran | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Di sini, keluaran (f) adalah '1' untuk empat kombinasi masukan. Istilah min terkait adalah p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Dengan melakukan logika OR dari empat suku min ini, kita akan mendapatkan fungsi Boolean dari keluaran (f).
Oleh karena itu, fungsi keluaran Boolean adalah, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Ini adalahcanonical SoP formdari keluaran, f. Kita juga dapat merepresentasikan fungsi ini dengan mengikuti dua notasi.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ jumlah m \ kiri (3,5,6,7 \ kanan) $$
Dalam satu persamaan, kami merepresentasikan fungsi sebagai jumlah suku min masing-masing. Dalam persamaan lain, kami menggunakan simbol untuk penjumlahan suku-suku min tersebut.
Bentuk PoS kanonis
Bentuk PoS Kanonis berarti bentuk Produk Kanonis dari Jumlah. Dalam bentuk ini, setiap istilah penjumlahan berisi semua literal. Jadi, istilah penjumlahan ini tidak lain adalah istilah Max. Oleh karena itu, bentuk PoS kanonik juga disebut sebagaiproduct of Max terms bentuk.
Pertama, identifikasi suku-suku Max yang variabel keluarannya nol dan kemudian lakukan logika AND dari suku-suku Max tersebut untuk mendapatkan ekspresi Boolean (fungsi) yang sesuai dengan variabel keluaran tersebut. Fungsi Boolean ini akan berupa perkalian suku Max.
Ikuti juga prosedur yang sama untuk variabel keluaran lainnya, jika ada lebih dari satu variabel keluaran.
Example
Pertimbangkan tabel kebenaran yang sama dari contoh sebelumnya. Di sini, keluaran (f) adalah '0' untuk empat kombinasi masukan. Suku Max yang sesuai adalah p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Dengan melakukan logika AND dari keempat suku Max ini, kita akan mendapatkan fungsi Boolean dari keluaran (f).
Oleh karena itu, fungsi keluaran Boolean adalah, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Ini adalahcanonical PoS formdari keluaran, f. Kita juga dapat merepresentasikan fungsi ini dengan mengikuti dua notasi.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ kiri (0,1,2,4 \ kanan) $$
Dalam satu persamaan, kami merepresentasikan fungsi sebagai produk dari masing-masing suku Max. Dalam persamaan lain, kami menggunakan simbol untuk perkalian suku-suku Max tersebut.
Fungsi Boolean, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) adalah rangkap dari fungsi Boolean, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Oleh karena itu, bentuk SoP kanonik dan PoS kanonik adalah Dualsatu sama lain. Secara fungsional, kedua bentuk ini sama. Berdasarkan kebutuhan, kita bisa menggunakan salah satu dari dua bentuk ini.
Formulir SoP dan PoS standar
Kami membahas dua bentuk kanonik yang mewakili keluaran Boolean. Demikian pula, ada dua bentuk standar yang mewakili keluaran Boolean. Ini adalah versi bentuk kanonik yang disederhanakan.
- Bentuk SoP standar
- Bentuk PoS standar
Kami akan membahas tentang gerbang Logika di bab selanjutnya. Utamaadvantagebentuk standar adalah bahwa jumlah input yang diterapkan ke gerbang logika dapat diminimalkan. Terkadang, akan ada pengurangan jumlah total gerbang logika yang dibutuhkan.
Bentuk SoP standar
Artinya bentuk SoP standar Standard Sum of Productsbentuk. Dalam bentuk ini, setiap istilah produk tidak harus mengandung semua literal. Jadi, istilah produk mungkin atau mungkin bukan istilah min. Oleh karena itu, formulir SoP Standar adalah bentuk SoP kanonik yang disederhanakan.
Kita akan mendapatkan bentuk variabel keluaran SoP Standar dalam dua langkah.
- Dapatkan bentuk variabel keluaran SoP kanonik
- Sederhanakan fungsi Boolean di atas, yang ada dalam bentuk SoP kanonik.
Ikuti juga prosedur yang sama untuk variabel keluaran lainnya, jika ada lebih dari satu variabel keluaran. Terkadang, formulir SoP kanonik tidak dapat disederhanakan. Dalam hal ini, bentuk SoP kanonis dan standar sama.
Example
Ubah fungsi Boolean berikut menjadi bentuk SoP Standar.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Fungsi Boolean yang diberikan adalah dalam bentuk SoP kanonik. Sekarang, kita harus menyederhanakan fungsi Boolean ini untuk mendapatkan bentuk SoP standar.
Step 1 - Gunakan Boolean postulate, x + x = x. Itu berarti, operasi Logical OR dengan variabel Boolean 'n' kali akan sama dengan variabel yang sama. Jadi, kita bisa menulis pqr suku terakhir dua kali lagi.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Gunakan Distributive lawuntuk 1 st dan 4 th istilah, 2 nd dan 5 th istilah, 3 rd dan 6 th istilah.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Gunakan Boolean postulate, x + x '= 1 untuk menyederhanakan suku-suku yang ada di setiap tanda kurung.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Gunakan Boolean postulate, x.1 = x untuk menyederhanakan tiga suku di atas.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Ini adalah fungsi Boolean yang disederhanakan. Oleh karena itu,standard SoP form sesuai dengan bentuk SoP kanonik yang diberikan f = pq + qr + pr
Bentuk PoS standar
Bentuk standar PoS artinya Standard Product of Sumsbentuk. Dalam bentuk ini, setiap istilah penjumlahan tidak harus mengandung semua literal. Jadi, persyaratan penjumlahan mungkin atau mungkin bukan persyaratan Max. Oleh karena itu, formulir PoS Standar adalah bentuk PoS kanonik yang disederhanakan.
Kita akan mendapatkan bentuk variabel keluaran PoS Standar dalam dua langkah.
- Dapatkan bentuk variabel output PoS kanonik
- Sederhanakan fungsi Boolean di atas, yang ada dalam bentuk PoS kanonis.
Ikuti juga prosedur yang sama untuk variabel keluaran lainnya, jika ada lebih dari satu variabel keluaran. Terkadang, tidak mungkin untuk menyederhanakan formulir PoS kanonik. Dalam hal ini, bentuk PoS kanonik dan standar sama.
Example
Ubah fungsi Boolean berikut menjadi bentuk PoS Standar.
f = (p + q + r). (p + q + r ']. (p + q' + r). (p '+ q + r)
Fungsi Boolean yang diberikan adalah dalam bentuk PoS kanonik. Sekarang, kita harus menyederhanakan fungsi Boolean ini untuk mendapatkan bentuk PoS standar.
Step 1 - Gunakan Boolean postulate, xx = x. Artinya, operasi Logical AND dengan variabel Boolean 'n' kali akan sama dengan variabel yang sama. Jadi, kita bisa menulis suku pertama p + q + r dua kali lagi.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r ']. (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Gunakan Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) untuk 1 st dan 4 th kurung, 2 nd dan 5 th kurung, 3 rd dan 6 th kurung.
⇒ f = (p + q + rr ']. (P + r + qq']. (Q + r + pp ')
Step 3 - Gunakan Boolean postulate, x.x '= 0 untuk menyederhanakan suku-suku yang ada di setiap tanda kurung.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Gunakan Boolean postulate, x + 0 = x untuk menyederhanakan suku-suku yang ada di setiap tanda kurung
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Ini adalah fungsi Boolean yang disederhanakan. Oleh karena itu,standard PoS form sesuai dengan bentuk PoS kanonik yang diberikan f = (p + q).(q + r).(p + r). Ini adalahdual dari fungsi Boolean, f = pq + qr + pr.
Oleh karena itu, baik bentuk SoP Standar dan PoS Standar Ganda satu sama lain.