Funzionali lineari $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, Variazioni

Question

Da Calculus of Variations, G&F , il problema è: Dati due funzionali lineari$\varphi,\psi$ su uno spazio lineare $R$ tale che $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. Mostra che c'è una costante$\lambda$ tale che $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

Permettere $S\subset R$ il set dove $\varphi,\psi$sono entrambi zero. Quello che ho finora è: lascia$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ allora esiste $\lambda_h$ tale che $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ per ogni $k\in\bar{h}$, quindi partizionando $R$in insiemi disgiunti dove \ eqref {eq1} vale localmente. Questo è quello che ho. Mi sento molto vicino a completare la soluzione, ma non riesco a vederlo subito. Grazie

Answer 1

Il nucleo di un funzionale lineare diverso da zero ha sempre codimensione$1$, a causa del primo teorema di isomorfismo.
Significa che se$x\in R\setminus S$ è qualsiasi elemento, insieme a $S$ abbraccia già l'intero spazio, quindi $R={\rm span}(x)\oplus S$.
Risolvi un tale file$x$.

Ovviamente prendi $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$, come hai fatto localmente in $x$'.

Per qualsiasi scalare $\alpha$ e $s\in S$ noi abbiamo $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$