Proprietà di matrice positiva

Question

Permettere $A$ essere un $C^*$-algebra e lascia $a = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix} \in M_n(A)$essere una matrice positiva .

È vero che se $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}$, poi $$\begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}$$è un elemento positivo di$A$?

Ho provato a usare la caratterizzazione $a= x^*x$ ma il calcolo è diventato piuttosto brutto, quindi mi chiedevo se esiste un modo semplice e concettuale per vederlo.

Answer 1

Se $a$ è un elemento positivo di $M_n(A)$, poi c'è un file $b \in M_n(A)$ con $a = b^*b$. Ne consegue che$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} \right]^*\left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}\right]. $$ Ora Scrivi $$ b \pmatrix{\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n} = \pmatrix{c_1\\ \vdots \\ c_n} $$ per alcuni $c_1,\dots,c_n \in A$. Da quanto sopra, abbiamo$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n}^* \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = \sum_{i=1}^n c_i^*c_i. $$ Ora, è sufficiente notare che la somma degli elementi positivi è positiva.