宇宙論-宇宙の年齢

前の章で説明したように、ハッブルパラメータの時間発展は次の式で与えられます。

$$ H（z）= H_0E（z）^ {\ frac {1} {2}} $$

どこ z 赤方偏移であり、 E(Z) は−

$$ E（z）\ equiv \ Omega_ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega（1 + z）^ 4 + \ Omega_ {k、0}（1 + z）^ 2 + \ Omega ^ {\ wedge、0} $$

宇宙の膨張が一定である場合、宇宙の真の年齢は次のように与えられます-

$$ t_H = \ frac {1} {H_0} $$

それが物質が支配する宇宙、すなわちアインシュタインのデシッター宇宙である場合、宇宙の真の年齢は次の式で与えられます。

$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$

スケールと赤方偏移は次のように定義されます-

$$ a = \ frac {a_0} {1 + z} $$

宇宙論的パラメータによる宇宙の年齢は次のように導き出されます。

ハッブルパラメータは次の式で与えられます。

$$ H = \ frac {\ frac {da} {dt}} {a} $$

差別化すると、次のようになります。

$$ da = \ frac {-dz} {（1 + z）^ 2} $$

どこ a₀ = 1 （スケールファクターの現在価値）

$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {-1} {（1 + z）^ 2} $$

$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} \ mathrm {d} t} $$

$$ H = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t} \ frac {1 + z} {1} $$

$$ \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {-1} {1 + z} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} \ frac {1} { 1} $$

$$ H（z）= H_0E（z）^ {\ frac {1} {2}} $$

$$ dt = \ frac {-dz} {H_0E（z）^ {\ frac {1} {2}}（1 + z）} $$

任意の赤方偏移で宇宙の年齢を見つけたい場合 ‘z’ 次に−

$$ t（z）= \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E（z）^ {\ frac {1} {2}}（1+ z）} dz $$

どこ k は曲率密度パラメータであり、−

$$ E（z）\ equiv \ Omega_ {m、0}（1 + z）^ 3 + \ Omega_ {rad、0}（1 + z）^ 4 + \ Omega_ {k、0}（1 + z） ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge、0} $$

宇宙の現在の年齢を計算するには、 z₁ = 0。

$$ t（z = 0）= t_ {age} = t_0 = \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E（z）^ {\ frac { 1} {2}}（1 + z）} dz $$

アインシュタインデシッターモデル、つまり$ \ Omega_m = 1 $、$ \ Omega_ {rad} = 0 $、$ \ Omega_k = 0 $、$ \ Omega_ \ wedge = 0 $の場合、宇宙の年齢の方程式は次のようになります。 −

$$ t_ {age} = \ frac {1} {H_0} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {1} {（1 + z）^ {\ frac {5} {2}}} dz $ $

積分を解いた後、次のようになります。

$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$

夜空は Cosmic Time Machine.遠くの惑星、星、銀河を観察するときはいつでも、何時間、何世紀、あるいは何千年も前のようにそれを見ています。これは、光が有限の速度（光速）で移動し、宇宙の距離が長いため、現在のようにオブジェクトが見えないためですが、光が放出されたときのように見えます。ここで地球上で光を検出してから、元々光源から放出されたときまでの経過時間は、Lookback Time (t_L(z₁))。

したがって、ルックバック時間は次の式で与えられます。

$$ t_1（z_1）= t_0-t（z_1）$$

アインシュタインのドジッター宇宙のルックバック時間は-

$$ t_L（z）= \ frac {2} {3H_0} \ left [1- \ frac {1} {（1 + z）^ {\ frac {3} {2}}} \ right] $$