ハッブルパラメータとスケールファクター

この章では、ハッブルパラメータとスケールファクターについて説明します。

  • Prerequisite −宇宙論的赤方偏移、宇宙原理。

  • Assumption −宇宙は均質で等方性です。

スケールファクターの変化率の割合を伴うハッブル定数

このセクションでは、ハッブル定数をスケールファクターの変化率と関連付けます。

速度は次のように記述して簡略化できます。

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$

$$ = \ frac {d [a(t)r_c} {dt} $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast(ar_c)$$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$

ここに、 v は後退速度です。 a はスケールファクターであり、 rp 銀河間の適切な距離です。

Hubble’s Empirical Formula 性質のものだった-

$$ v = H \ ast r_p $$

したがって、上記の2つの方程式を比較すると、次のようになります。

Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor

$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$

Note−スケール係数は時間の関数であるため、これは定数ではありません。したがって、それはハッブルの定数ではなく、ハッブルのパラメータと呼ばれます。

経験的に私たちは書く-

$$ H = V / D $$

したがって、この式から、 D 増加していて V は定数であり、 H 時間と宇宙の膨張とともに減少します。

ロバートソン-ウォーカーモデルと組み合わせたフリードマン方程式

このセクションでは、フリードマン方程式をロバートソン-ウォーカーモデルと組み合わせて使用​​する方法を理解します。これを理解するために、距離にテスト質量がある次の画像を撮りましょうrp 質量体から M 例として。

上の画像を考慮すると、力は次のように表すことができます。

$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$

ここに、 G は万有引力定数であり、ρは観測可能な宇宙内の物質密度です。

ここで、球内の質量密度が均一であると仮定すると、次のように書くことができます。

$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$

これらを力の方程式に戻すと、次のようになります。

$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$

したがって、質量の位置エネルギーと運動エネルギーを書くことができます m として-

$$ V =-\ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$

$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$

を使用して Virial Theorem

$$ U = KE + V $$

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left(\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right)^ 2- \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

しかし、ここでは、$ r_p = ar_c $です。したがって、次のようになります。

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left(\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right)^ 2 r_c ^ 2- \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

さらに単純化すると、フリードマン方程式が得られます。

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$

ここに Uは定数です。また、私たちが現在住んでいる宇宙は物質によって支配されていますが、放射線エネルギー密度は非常に低いことにも注意してください。

覚えておくべきポイント

  • ハッブルパラメータは、時間と宇宙の膨張とともに減少します。

  • 私たちが現在住んでいる宇宙は物質に支配されており、放射線エネルギー密度は非常に低いです。