宇宙論-物質が支配する宇宙

この章では、物質が支配する宇宙に関連するフリードマン方程式の解について説明します。宇宙論では、太陽系や銀河などすべてを大規模に見ているので、たまたますべてが塵の粒子のように見えます(それが私たちの目で見ているものです)。

の中に Fluid Equation

$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)\ rho -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right )\ left(\ frac {P} {c ^ 2} \ right)$$

圧力項があることがわかります。ほこりっぽい宇宙の場合、P = 0なぜなら、物質のエネルギー密度は放射圧よりも大きくなり、物質は相対論的な速度で動いていないからです。

したがって、流体方程式は次のようになります。

$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)\ rho $$

$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}(a ^ 3 \ rho)= 0 $$

$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \:定数$$

$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$

ボリュームが$ a ^ 3 $として増加しているため、密度は$ a ^ {-3} $としてスケーリングする必要があるため、この方程式には直感に反するものはありません。

最後の関係から、私たちはそれを言うことができます、

$$ \ frac {\ rho(t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a(t)} \ right] ^ 3 $$

現在の宇宙では、 a、これは a0 1である必要があります。

$$ \ rho(t)= \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$

物質が支配する平らな宇宙では、k = 0です。したがって、フリードマン方程式は次のようになります。

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$

$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$

この方程式を解くことにより、次のようになります。

$$ a \ propto t ^ {2/3} $$

$$ \ frac {a(t)} {a_0} = \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

$$ a(t)= \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

これは、宇宙が減少する速度で増加し続けることを意味します。次の画像は、ダスティユニバースの拡大を示しています。

ρは時間とともにどのように変化しますか?

次の方程式を見てください-

$$ \ frac {\ rho(t)} {\ rho_0} = \ left(\ frac {t_0} {t} \ right)^ 2 $$

スケールファクターは$ t ^ {2/3} $として時間とともに変化することがわかっています。そう、

$$ a(t)= \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

それを差別化すると、私たちは得るでしょう、

$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left(\ frac {t ^ {-1/3}} {t_0} \ right)$$

私たちは、 Hubble Constant は、

$$ H(t)= \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$

これはの方程式です Einstein-de sitter Universe。宇宙の現在の年齢を計算したい場合は、

$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$

現在の宇宙の$ H_0 $の値を入力すると、宇宙の年齢の値は次のようになります。 9 Gyrs。沢山ありますGlobular Cluster それ以上の年齢を持つ私たち自身の天の川銀河で。

それはすべてほこりっぽい宇宙についてでした。さて、宇宙が物質ではなく放射線によって支配されていると仮定すると、放射線エネルギー密度は$ a ^ {-3} $ではなく$ a ^ {-4} $になります。これについては、次の章で詳しく説明します。

覚えておくべきポイント

  • 宇宙論では、すべてがたまたま塵の粒子のようであるため、私たちはそれを塵の宇宙または物質のみの宇宙と呼びます。

  • 宇宙が物質ではなく放射線によって支配されていると仮定すると、放射線エネルギー密度は$ a ^ {-3} $ではなく$ a ^ {-4} $になります。